Verschiedene Postulate und statistische Interpretationen der Quantenmechanik

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Verschiedene Postulate und statistische Interpretationen der Quantenmechanik

Physik
geboren-Regel
Hilbert-Raum
Quantenmechanik
Messproblem
Quanteninterpretationen

Benutzer100411

Hallo, ich habe eine Frage zum Unterschied zwischen zwei Aspekten der statistischen Interpretation der Quantenmechanik, die in den beliebten Einführungsbüchern zur Quantenmechanik "Introduction to Quantum Mechanics" von Griffiths und "Quantum Mechanics Concepts and Applications" von Zettili gegeben werden.

In Griffiths haben wir: Betrachten Sie eine Observable $\hat{Q}$ , mit Eigenfunktionen $f_{n}(x)$ und zugehörige Eigenwerte $q_n$ . Da also die Eigenfunktionen vollständig sind, haben wir $\Psi(x,t) = \sum_{n}c_n f_n(x)$ welches ist

Ψ (X, T) = ⟨ X | Ψ ⟩ = \sum_{N} ⟨ X | F_{N} ⟩ ⟨ F_{N} | Ψ ⟩

$\Psi(x,t) = \langle x| \Psi \rangle = \sum_n \langle x | f_n \rangle \langle f_n |\Psi \rangle$ Wo

c_{n} = ⟨ f_{n} | Ψ ⟩

$c_n = \langle f_n | \Psi \rangle$ Und

| c_{n} |^{2}

$|c_n|^2$ ist die Wahrscheinlichkeit der Messung von

\hat{Q}

$\hat{Q}$ Eigenwert ergeben würde

q_{n}

$q_n$ . Nach einer Messung der Observablen stellt Griffiths fest, dass der Zustandsvektor auf eine der Eigenfunktionen kollabiert

f_{n}

$f_n$ .

Bei Zettili scheint er damit umzugehen $c_n$ und Eigenwerte $a_n$ als dasselbe. Das hat er mit Eigenwerten $a_n$ und Eigenfunktionen $| \psi_n \rangle$ beobachtbar $\hat{A}$ die auf den Zustandsvektor wirkt $|\psi(t) \rangle$ wir haben

| ψ (T) ⟩ = \sum_{N} A_{N} | ψ_{N} ⟩ .

$|\psi(t) \rangle = \sum_n a_n | \psi_n \rangle.$

Wie zu sehen ist, lässt Zettili die Koeffizienten weg $c_n$ sondern nimmt die Eigenwerte $a_n$ als Koeffizient. Und damit gibt Zettili an, dass die Wahrscheinlichkeit, Eigenwerte zu erhalten $a_n$ Ist:

P_{N} (A_{N}) = \frac{| A_{N} |^{2}}{⟨ ψ | ψ ⟩} .

$P_n(a_n) = \frac{|a_n|^2}{\langle \psi | \psi \rangle}.$

Welche Interpretation ist richtig (oder vorzuziehen) und wird am häufigsten verwendet?

Außerdem gibt Zettili an, dass der Zustandsvektor zu kollabiert $a_n| \psi_n \rangle$ wo, wie Griffiths gerade sagt, dass der Zustandsvektor zur Eigenfunktion kollabiert?

Betreffende Seite:

Emilio Pisanty

Wenn Zettili das tatsächlich hat, dann ist es falsch, aber es ist so falsch, dass der natürliche Kandidat ist, dass Sie es falsch zitieren.

Lubos Motl

In beiden Büchern gibt es keine Hinweise auf einen Fehler. Die Idee, dass

a_{n}

$a_n$ ein Eigenwert ist, ist ein reiner Fehler des OP.

Benutzer100411

@EmilioPisanty Ich habe die Frage aktualisiert, um einen Anhang der betreffenden Seite einzufügen. Vielleicht übersehe ich etwas, aber das scheint es zu sagen.

Lubos Motl

OK, mit dem Bild stimme ich zu, dass das Buch von Zettili völlig schlampig ist und überall dasselbe Symbol für die Eigenwerte und die Wahrscheinlichkeitsamplituden verwendet. Das ist wirklich schlimm genug, um das Buch unbrauchbar zu machen. Sie sind völlig unterschiedliche Dinge, sie haben nicht einmal die gleiche Einheit, der Eigenwert ist typischerweise reell, während die Amplitude sehr komplex ist, und so weiter. Es scheint mehr als ein Tippfehler zu sein, der Autor scheint wirklich verwirrt über einige grundlegende Dinge zu sein.

Emilio Pisanty

Ja, ich stimme Luboš zu - der falschen Identifizierung von

a_{n}

$a_n$ als zwei verschiedene Objekte auf derselben Seite ist schlimm genug, um das Buch vollständig zu disqualifizieren.

Benutzer100411

Ich denke, ich bleibe für diesen Abschnitt bei Griffiths. Aber die ersten paar Kapitel sind recht gut präsentiert. Danke.

Lubos Motl

Das Inhaltsverzeichnis (ich habe bei amazon.com nachgesehen) sieht aus wie ein Standard-QM-Buch, Emilio ... Eine ungewöhnliche Sache, es gibt nur etwas C++-Code, um Sch numerisch zu lösen. Gleichung.

Antworten (1)

Verschiedene Postulate und statistische Interpretationen der Quantenmechanik

Wenn Zettili das tatsächlich hat, dann ist es falsch, aber es ist so falsch, dass der natürliche Kandidat ist, dass Sie es falsch zitieren.
In beiden Büchern gibt es keine Hinweise auf einen Fehler. Die Idee, dass $a_n$ ein Eigenwert ist, ist ein reiner Fehler des OP.
@EmilioPisanty Ich habe die Frage aktualisiert, um einen Anhang der betreffenden Seite einzufügen. Vielleicht übersehe ich etwas, aber das scheint es zu sagen.
OK, mit dem Bild stimme ich zu, dass das Buch von Zettili völlig schlampig ist und überall dasselbe Symbol für die Eigenwerte und die Wahrscheinlichkeitsamplituden verwendet. Das ist wirklich schlimm genug, um das Buch unbrauchbar zu machen. Sie sind völlig unterschiedliche Dinge, sie haben nicht einmal die gleiche Einheit, der Eigenwert ist typischerweise reell, während die Amplitude sehr komplex ist, und so weiter. Es scheint mehr als ein Tippfehler zu sein, der Autor scheint wirklich verwirrt über einige grundlegende Dinge zu sein.
Ja, ich stimme Luboš zu - der falschen Identifizierung von $a_n$ als zwei verschiedene Objekte auf derselben Seite ist schlimm genug, um das Buch vollständig zu disqualifizieren.
Ich denke, ich bleibe für diesen Abschnitt bei Griffiths. Aber die ersten paar Kapitel sind recht gut präsentiert. Danke.
Das Inhaltsverzeichnis (ich habe bei amazon.com nachgesehen) sieht aus wie ein Standard-QM-Buch, Emilio ... Eine ungewöhnliche Sache, es gibt nur etwas C++-Code, um Sch numerisch zu lösen. Gleichung.

Lubos Motl · Answer 1

Hier gibt es absolut keine „Interpretationsfreiheit“. Beide Bücher sollten – und alle anderen Bücher, die nicht ganz falsch liegen – diesen Formeln zustimmen und dem zustimmen $a_n$ gibt niemals einen Eigenwert an.

Sowohl in Büchern als auch in der gesamten Wissenschaft $a_n$ ist die komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude so, dass $|a_n|^2$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass das System die hat $n$ -ten Eigenwert des entsprechenden Operators. Üblicherweise wird der Eigenwert genannt $\lambda_n$ . Nachdem diese Antwort geschrieben wurde, bewies ein Screenshot, dass Zettili das Symbol wirklich verwendet $a_n$ sowohl für die Amplitude als auch für den Eigenwert – es ist eine ziemlich große Verwirrung in der Notation.

Die komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude $a_n$ oder $c_n$ – beide Schreibweisen sind weit verbreitet, und viele andere – sind die Koeffizienten in der Entwicklung eines Zustandsvektors

| ϕ ⟩ = \sum_{N} C_{N} | ψ_{N} ⟩

$| \phi \rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle$ Hier die Basisvektoren

| ψ_{n} ⟩

$|\psi_n\rangle$ sind Eigenvektoren eines Operators

L

$L$

L | ψ_{N} ⟩ = λ_{N} | ψ_{N} ⟩

$L |\psi_n \rangle = \lambda_n | \psi_n \rangle$ Wo

λ_{n}

$\lambda_n$ sind die Eigenwerte. Auch die Gleichung

P_{N} (A_{N}) = \frac{| A_{N} |^{2}}{⟨ ψ | ψ ⟩}

$P_n(a_n) = \frac{|a_n|^2}{\langle \psi | \psi \rangle}$ sagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Eigenwert ist

λ_{n}

$\lambda_n$ (was einfach durch den Index angezeigt wird

n

$n$ von

P_{n}

$P_n$ ) ist der quadrierte Absolutwert der Wahrscheinlichkeitsamplitude,

| a_{n} |^{2}

$|a_n|^2$ . Der Nenner wird dort geschrieben, um die Norm zu ermöglichen

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle \psi|\psi \rangle$ anders sein als eins – es hat den gleichen Effekt wie eine Neuskalierung

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ damit die Norm eins ist.

Auch in der Gleichung enthält die linke Seite $(a_n)$ was einfach sagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Eigenwert $\lambda_n$ realisiert wird, ist eine Funktion der Wahrscheinlichkeitsamplituden $a_n$ (Nun, das Besondere mit dem gleichen $n$ ist die wichtigste, aber die anderen können durch den Nenner eintreten, der benötigt wird, wenn man die Bedingung ignoriert, dass die Norm eins sein sollte).

Sie könnten Recht haben, aber das scheint es zu sagen. Siehe bearbeitete Frage für den Anhang.
Entschuldigung, ich stimme zu, es gibt einen Tippfehler, der ein paar Mal unten wiederholt wird (3,2), "eigenvalue $a_n$ " sollte "Eigenwert sein $\lambda_n$ " ein paar Mal. Nun, er ist schlampig und verwendet eindeutig dasselbe Symbol sowohl für die Amplituden als auch für die Eigenwerte. Die vollständige Korrektur des Buches müsste also über fast jede Gleichung entscheiden. ;-)

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