Woher kommt die Born-Regel? [Duplikat]

Soweit ich online gelesen habe, gibt es keine gute Erklärung für die Born Rule . Ist dies der Fall? Warum ergibt das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit? Natürlich entfernt es Negative und imaginäre Zahlen, aber warum ist es das Quadrat, nicht die vierte oder eine höhere Potenz?

Dies wird in den Übungen 4 und 5 hier sowie in diesem Papier besprochen . Siehe auch diese Antwort und den genehmigenden Kommentar dazu. Und schließlich sehen Sie sich diese Antwort auf eine verwandte Frage an.
Es ist dasselbe wie der Zusammenhang zwischen Amplitude und Energie im Doppelspaltexperiment.
Sie müssen sich das Quadrieren nicht als eine spezielle Operation vorstellen. Für jede Observable in QM ist der Mittelwert gegeben durch <Ψ|A|Ψ> , wobei A der lineare Operator ist, der der Observable entspricht. Im Fall von Position ist der Operator R. Alles, was R tut, ist, dieselbe Funktion zurückzugeben, sodass Sie am Ende <Ψ|Ψ> erhalten.
Eine ähnliche Frage von mir hat auch ein paar interessante Antworten bekommen: physical.stackexchange.com/q/54251/16660
IIRC David Deutsch konnte es aus der Vielwelten-Interpretation von QM ableiten.
Deutschs "Herleitung" ist unsinnig ... Es gibt eine Definition von rationalem Verhalten, wonach die rationale Wahl diejenige ist, die Ihren "erwarteten Nutzen" maximiert. Der Nutzen eines Ergebnisses ist die Auszahlung, die Sie aus diesem Ergebnis erhalten, und dann wird der erwartete Nutzen einer Wahl ermittelt, indem alle möglichen Ergebnisse berücksichtigt werden, die sich aus einer Wahl ergeben könnten, und ihnen dann jeweils ein Gewicht gegeben wird, das (Nutzen von das Ergebnis) x (Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses)...
Das entscheidungstheoretische Rationalitätsmodell baut also auf einem einfacheren Wahrscheinlichkeitsbegriff auf. Deutschs Ableitung der Born-Regel besteht darin, mit einem apriorischen Modell zu beginnen, wie man im Multiversum rational wählt, und dann rückwärts zu arbeiten, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten ...
Mit anderen Worten, es muss rational sein, die Wahl X zu treffen, „daher“ müssen die relevanten Ergebnisse A, B und C bestimmte physikalische Wahrscheinlichkeiten haben. Auch ohne die Details des Arguments zu sehen, sollte es offensichtlich sein, dass dies Unsinn ist ...
Aber niemand kümmert sich um die Details dieser „Oxford School of MWI“, außer anderen Philosophen, so dass detaillierte Widerlegungen in obskuren Papieren begraben bleiben, während MWI-Fans sagen können, „Deutsch hat die Born-Regel abgeleitet“, während sie sich auf nichts anderes als Hörensagen verlassen.

Antworten (3)

Angenommen, Sie möchten das quantenmechanische Verhalten eines Systems beschreiben, indem Sie die Wellengleichung, die es erfüllen soll, von Grund auf neu aufbauen . Betrachten Sie zunächst das Beugungsmuster, das mit einem Doppelspalt durch einen monochromatischen Lichtstrahl erhalten wird, und vergleichen Sie es mit dem eines monoenergetischen Elektronenstrahls.

In der Optik die Gesamtamplitude Φ für zwei kohärente einfallende Lichtstrahlen in einer Ebene ist die Summe der Einzelamplituden, Φ = Φ 1 + Φ 2 = A 1 e ich θ 1 + A 1 e ich θ 2 und die Intensität ICH des Strahls wird proportional zu sein | Φ | 2 ,

ICH ∼ | Φ | 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 )
was real und positiv ist, und zwar durch die Definition von ICH es ist proportional zur Anzahl der Photonen in jedem Punkt des Bildschirms.

Das Muster mit dem Elektronenstrahl ist völlig ähnlich, sodass Sie eine komplexe Amplitude definieren können ψ mit den Eigenschaften

  1. Es kann eine Wellengleichung erfüllen .
  2. Die Dichte der Elektronen ρ ( X ) ist proportional zu | ψ | 2 = ψ ∗ ψ in jedem Punkt.

Auf diese Weise stellen Sie sicher, dass die Teilchendichte positiv ist und durch Überlagerung von Amplituden Interferenzen aufweisen kann. Lassen Sie uns nun bezeichnen A der Proportionalitätsfaktor in Eigenschaft 2, dann die Gesamtzahl der Teilchen N wird von gegeben

N = ∫ ρ D X = A ∫ | ψ | 2 D X ⟹ ∫ | ψ | 2 D X = N A
Nun die Nummer N im Allgemeinen ist groß, unbekannt und zu wissen, dass es irrelevant ist, auch wie man sehen kann, ist die Wellengleichung homogen, so dass ψ wird bis auf eine beliebige Konstante bestimmt. Auf diese Weise ist es gewohnt zu nehmen A = N , dh nehmen | ψ | als normalisierte Funktion,
∫ ψ ∗ ψ D X = 1
Das hast du also ρ = N | ψ | 2 , dann können Sie definieren
ρ ~ ≡ ρ N
als relative Teilchendichte , die angibt, welcher Anteil der Gesamtheit der Teilchen in dem Element enthalten ist D X , dann ab hier
∫ ρ ~ D X = 1
Also hier ist es: Angenommen, Sie führen das Experiment mit nur einem Elektron durch. Dann ρ ~ D X kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass das Elektron in dem Element enthalten ist D X Und ∫ ρ ~ D X = 1 sagt Ihnen mit voller Zuversicht, dass sich das Teilchen irgendwo im Weltraum befindet.

Deshalb im Allgemeinen ρ ~ = ψ ∗ ψ kann als Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lokalisierung von Teilchen interpretiert werden, was folglich eine Erhaltung der Wahrscheinlichkeit impliziert .

Hat Born so argumentiert?

Bei einer elektromagnetischen Welle ist die Energie proportional zum Quadrat des elektrischen/magnetischen Feldes (dh der Welle). Dies ist ein klassisches Ergebnis, das aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden kann.

Als Photonen entdeckt wurden, wurde die Intensität von Photonen oder die Anzahl von Photonen, die an einem bestimmten Ort (z. B. auf einem Bildschirm hinter einem Doppelspalt) ankamen, als proportional zu diesem quadratischen Feld angesehen. Allerdings wurde es nun probabilistisch interpretiert: Die Intensität des Lichts ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon auf diesen Ort trifft.

Die Erweiterung auf „Elektronenwellen“ ist natürlich eine wilde Vermutung, die sich dann als wahr herausgestellt hat.

Die Erweiterung auf „Elektronenwellen“ ist natürlich eine wilde Vermutung, die sich dann als wahr herausgestellt hat. Ich würde argumentieren, dass die Erweiterung auf Elektronen aus der Tatsache folgt, dass Elektronen an elektromagnetische Wellen koppeln: physical.stackexchange.com/a/73388/4552
Da die Born-Regel für die elektromagnetische "Wellenfunktion" gelten muss und elektromagnetische Wellen mit Materie wechselwirken können, muss sie natürlich auch für materielle Teilchen gelten, sonst hätten wir keine konsistente Vorstellung von der Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon " befindet" an einem bestimmten Ort und die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon an diesem Ort von einem materiellen Detektor entdeckt würde. Können Sie das näher erläutern?
Wäre es sinnvoller, dies in Kommentaren zu meiner Antwort zu diskutieren, anstatt zu Ihrer?
Ja. Ich habe den Kommentar zu Ihrer Antwort erneut gepostet.

Das "Quadrat" folgt aus der Schrödinger-Gleichung in einem Streuproblemaufbau. Für einen gegebenen Fluss einfallender Teilchen J sie gibt die Anzahl der gestreuten Teilchen pro Sekunde pro Raumwinkeleinheit an D 2 N D T D Ω ∝ J , also für ein Teilchen eine Wahrscheinlichkeit pro Sekunde pro Raumwinkeleinheit.

Das ist Zirkelschluss. Eine Begründung für die Bornsche Regel sollte erklären, warum das Quadrat in der Lösung des Streuproblems auftaucht.
@BenCrowell Das ist nicht wirklich kreisförmig. Ich denke, Born selbst hat es so begründet. Sie müssen sich daran erinnern, dass Schrödingers Gleichung vor der Born-Regel kam; Die Leute wussten, dass die Eigenwerte der Gleichung die richtigen Wasserstoff-Energieniveaus ergaben, hatten aber keine Ahnung, was die Wellenfunktionen selbst bedeuteten. Born löste die Schrödinger-Gleichung für Streuungsprobleme unter Verwendung der Störungstheorie und bemerkte dies | ψ | 2 entsprach der klassischen Streuamplitude. Das ist also wirklich die richtigste Antwort, zumindest historisch.
Als interessante Nebenbemerkung stimmt die klassische Streuamplitude GENAU mit der Störungstheorie erster Ordnung in der Quantenmechanik überein. Dies ist ein glücklicher Zufall, denn so konnte Born die Born-Regel ableiten.
Um eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation voranzutreiben, ist auch die experimentelle Tatsache der Ladungsquantisierung (wir beobachten ein Elektron gleichzeitig) sehr wichtig. Mit anderen Worten, bei Flüssen geringer Intensität ist die Intensität quantisiert. Daher verwenden wir für die quantisierte Entität die zu beobachtende Wahrscheinlichkeit.
@JahanClaes Hätten Sie zufällig eine Quellenreferenz, die dies detailliert / beschreibt?
@chevestong Die Tatsache, dass die geborene Näherung die klassische Lösung für ein Coulomb-Potential liefert, wird normalerweise überall dort vermerkt, wo dieses Problem diskutiert wird, siehe zB atlas.physics.arizona.edu/~shupe/Indep_Studies_2015/…
@chevestong Die Tatsache, dass dies dazu führte, dass Born das Quadrat der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeit interpretierte, kann durch die Tatsache festgestellt werden, dass Born die Born-Regel in derselben Arbeit vorschlug, in der er das Coulomb-Streuproblem in erster Ordnung löste.
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