Wahrscheinlichkeitsmaß impliziert Quantenmechanik?

Es gibt einen Hilbert-Raum H (wahrscheinlich mit der Dimension 3 oder mehr, wie in Gleasons Theorem?), der mit einem logischen Apparat (dem Gitter L?) ausgestattet ist.

Richtig, und das Gitter$L(H)$ist der von orthogonalen Projektoren/geschlossenen Unterräumen eines trennbaren komplexen Hilbert-Raums$H$. Als teilweise geordnete Menge die teilweise Ordnung$P\leq Q$Relation ist die Einbeziehung von Unterräumen:$P(H) \subset Q(H)$.

Als Konsequenz$P \vee Q := \sup\{P,Q\}$ist der Projektor auf den Abschluss der Summe von$P(H)$und$Q(H)$und$P\wedge Q := \inf\{P,Q\}$ist der Projektor auf den Schnittpunkt der genannten geschlossenen Unterräume.

Dieses Gitter erweist sich als orthomodular, beschränkt, atomar, das Überdeckungsgesetz erfüllend, trennbar, ($\sigma$-)Komplett.

Sie brauchen auch nicht davon auszugehen, dass das Gitter der Elementarsätze eines Quantensystems ist$L(H)$von Grund auf neu, aber Sie können es beweisen , indem Sie einige allgemeine Hypothesen annehmen (die ich oben zusammen mit einigen weiteren technischen Anforderungen geschrieben habe). Was Sie jedoch schließlich feststellen, ist, dass der Hilbert-Raum reell, komplex oder quaternionisch sein kann. Dieses Ergebnis wurde 1995 von Solèr erzielt.

Wir haben ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das die Kolmogorov-Axiome erfüllt (einschließlich zählbarer Additivität, aber ohne die Konnotationen der booleschen Logik).

Richtig. Das Gitter ist (orthokomplementiert und) orthomodular ($A= B \vee (A \wedge B^\perp)$wenn$B\leq A$) anstelle von (orthokomplementiert und) Boolean ($\vee$und$\wedge$sind gegenseitig distributiv).

Allerdings ist die Geschichte viel länger. Die Elemente von$L(H)$werden als die elementaren Sätze/Observablen eines Quantensystems interpretiert, die nur die Ergebnisse JA und NICHT unter Messung zulassen.

In einem orthomodularen Gitter zwei Elemente$P,Q$sollen pendeln , wenn das kleinste Untergitter, das beide enthält, boolesch ist.

Es ist möglich, dies für das Gitter orthogonaler Projektoren zu beweisen$L(H)$, ein Elementpaar$P$und$Q$pendeln genau dann, wenn sie als Operatoren pendeln :$PQ=QP$.

A posteriori stimmt dies mit der Idee überein, dass diese elementaren Observablen gleichzeitig gemessen werden können.

Wenn$P$und$Q$in$L(H)$pendeln, es stellt sich heraus, dass

$$P\wedge Q = PQ =QP\tag{*}$$ und $$P\vee Q = P+Q-PQ\:.\tag{**}$$

Ein entscheidender Punkt ist der folgende. Ein boolesches Untergitter haben (dh aus wechselseitig kommutierenden Elementen bestehen)$\vee$und$\wedge$können mit der üblichen logischen Bedeutung von OR bzw. AND ausgestattet werden. Das Orthogonale$P^\perp = I-P$entspricht der Negation NICHT$P$.

Dies ist eine Möglichkeit, die klassische Logik teilweise aus der Quantenlogik wiederherzustellen.

Müssen wir auch irgendeine Form des Gesetzes der großen Zahlen annehmen?

Zumindest wenn Sie Messungen von Observablen vornehmen, reduzieren Sie sich eigentlich immer auf eine Boolesche Unteralgebra, bei der das Wahrscheinlichkeitsmaß zum Standard wird$\sigma$-additives Maß von a$\sigma$-Algebra und hier können Sie Standardergebnisse über die Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeiten - Häufigkeiten annehmen.

Ist das Folgende so etwas wie die richtige Ergebnisliste?

Das Wahrscheinlichkeitsmaß kann durch eine Dichtematrix (Theorem von Gleason) beschrieben werden.

Ja, vorausgesetzt, der Hilbert-Raum ist mit der Dimension trennbar$\neq 2$.

Insbesondere die Extremalelemente der konvexen Menge von Gleason-Wahrscheinlichkeitsmaßen (die Wahrscheinlichkeitsmaße, die nicht in nicht-triviale konvexe Kombinationen zerlegt werden können) haben die Form$|\psi\rangle \langle \psi|$für alles Mögliche$\psi\in H$mit Einheitennorm. Auf diese Weise fallen Extremalmaße mit reinen Zuständen zusammen , dh Einheitsvektoren bis hin zu Phasen.

Observable müssen durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt werden.

Ja, das ist einfach zu beweisen, wenn man davon ausgeht, dass es sich um eine Observable handelt$A$ist eine Sammlung$\{P^{(A)}(E)\}_{E \in B(\mathbb R)}$von Elementen des Gitters$L(H)$, also Projektoren$P(E)$wo$E\subset \mathbb R$ist ein echtes Borel-Set.

Die physikalische Bedeutung von$P^{(A)}(E)$ist "das Ergebnis der Messung von$A$liegt in (oder ist)$E$".

Offensichtlich$P^{(A)}(E)$und$P^{(A)}(E')$pendeln und die Standardbedeutung geben$\wedge$(= UND), das haben wir von (*)

$$P^{(A)}(E) P^{(A)}(F) = P^{(A)}(E)\wedge P^{(A)}(F) = P^{(A)}(E\cap F)\:.\tag{1}$$

Der Vollständigkeit halber ist es nicht schwierig, auch die Eigenschaft zu begründen

$$\vee_i P^{(A)}(E_i) = P^{(A)}(\cup_i E_i)$$ bei dem die$E_i$und eine endliche oder abzählbare Klasse von paarweise disjunkten Borel-Mengen. Diese Anforderung, insbesondere unter Verwendung von (**), ist mathematisch äquivalent zu $$\sum_i P^{(A)}(E_i) = P^{(A)}(\cup_i E_i)\tag{2}$$ bei dem die$E_i$und eine endliche oder abzählbare Klasse von paarweise disjunkten Borel-Mengen, und die Summe wird in der starken Operatortopologie berechnet.

Schließlich muss ein gewisses Ergebnis gemessen werden$\mathbb R$, Wir schließen daraus

$$P^{(A)}(\mathbb R)=I\tag{3}\:,$$ weil der triviale Projektor$I \in L(H)$erfüllt$\mu(I)=1$für jeden Gleason-Zustand.

Das sagen die Eigenschaften (1), (2) und (3).$\{P^{(A)}(E)\}_{E \in B(\mathbb R)}$ist ein projektionswertiges Maß (PVM), so dass der selbstadjungierte Operator

$$A = \int_{\mathbb R} \lambda P^{(A)}(\lambda)$$ existiert.

Der Spektralsatz beweist, dass die Entsprechung zwischen Observablen und selbstadjungierten Operatoren eineindeutig ist.

Gegeben sei ein reiner Zustand, dargestellt durch den Einheitsvektor bis zu Phasen$\psi$und ein PVM$\{P^{(A)}(E)\}_{E\in B(\mathbb R)}$Beschreibung des beobachtbaren/selbstadjungierten Operators$A$, die Karte

$$B({\mathbb R}) \ni E \mapsto \mu^{(A)}_\psi(E) := tr(|\psi\rangle \langle \psi| P^{(A)}(E)) = \langle \psi|P^{(A)}(E) \psi\rangle$$ ist ein Standardwahrscheinlichkeitsmaß vorbei$\sigma(A)$, und Standardergebnisse des QM entstehen so ($\psi$soll zur Domäne von gehören$A$) $$\langle \psi |A \psi \rangle = \int_{\sigma(A)}\lambda d\mu^{(A)}(\lambda)\:,$$ was die Interpretation der linken Seite als Erwartungswert von rechtfertigt$A$in dem Staat vertreten durch$\psi$, usw.

Es stellt sich auch heraus, dass die Unterstützung eines PVM mit dem Spektrum übereinstimmt$\sigma(A)$des zugehörigen Observablen.

Die Elemente$P$von$L(H)$sind selbstadjungierte Operatoren und somit ist das Bild konsistent:$P$ist eine elementare Observable, die nur zwei Werte zulässt$0$(NICHT) und$1$(JAWOHL). In der Tat$\{0,1\} = \sigma(P)$es sei denn, man betrachtet die beiden trivialen Fälle (den Widerspruch)$P=0$wo$\sigma(P)= \{0\}$und$P=I$(die Tautologie) wo$\sigma(P)= \{1\}$.

Die Zeitentwicklung muss einheitlich sein.

Hier muss man den Begriff der Symmetrie und der kontinuierlichen Symmetrie einführen .

Es gibt mindestens 3 Möglichkeiten die gleichwertig sind$L(H)$, einer ist der wohlbekannte Satz von Wigner . Die natürlichste in diesem Bild ist jedoch die von Kadison (eine der beiden möglichen Versionen): Eine Symmetrie kann als Isomorphie des Gitters definiert werden$L(H)$,$h: L(H) \to L(H)$.

Es stellt sich heraus, dass (Satz von Kadison) Isomorphismen alle von der Form sind

$$L(H)\ni P \to h(P) = UPU^{-1}$$ für einen unitären oder antiunitären Operator$U$, definiert bis auf eine Phase, und abhängig vom Isomorphismus$h$.

Zeitliche Homogenität bedeutet, dass es keinen bevorzugten Ursprung der Zeit gibt und alle Zeitpunkte physikalisch äquivalent sind.

Bei Vorhandensein von Zeithomogenität muss es also eine Beziehung zwischen der Physik zur Zeit geben$0$und Physik zur Zeit$t$physische Strukturen erhalten. Zeitentwicklungsform$0$zu$t$muss daher durch einen Isomorphismus implementiert werden$h_t$von$L(H)$.

Da es keinen Ursprung der Zeit gibt, liegt es auch nahe, dies anzunehmen$h_t\circ h_s = h_{t+s}$.

Es ist daher naheliegend anzunehmen, dass bei Vorhandensein zeitlicher Homogenität die Zeitentwicklung durch eine Ein-Parameter-Gruppe solcher Automorphismen repräsentiert wird${\mathbb R} \ni t \mapsto h_t$. (Ein-Parameter-Gruppe bedeutet$h_t\circ h_s = h_{t+s}$und$h_0= id$.)

Es ist auch natürlich, eine Kontinuitätshypothese in Bezug auf mögliche Messungen und Zustände anzunehmen:

$${\mathbb R} \ni t \mapsto \mu(h_t(P))$$

ist stetig für alle$P\in L(H)$und jedem Gleason-Staat$\mu$.

Beachten Sie, dass das Kadison-Theorem eine Einheit assoziiert$U_t$an jede$h_t$ bis auf Phasen , so dass es keinen Grund gibt, ein Priorat zu haben$U_tU_s = U_{t+s}$, da Phasen je nach$s$und$t$darf auftauchen.

Auch wenn man so schlau ist, die Phasen festzulegen, um die Kompositionsregel einer einparametrigen Gruppe unitärer Operatoren zu beweisen $U_tU_s = U_{t+s}$und$U_0=I$, gibt es keinen vorrangigen Grund, eine durchgehende Karte zu finden$t \mapsto U_t$in einer natürlichen Operatortopologie.

Eigentlich unter den besagten Hypothesen auf$\{h_t\}_{t\in \mathbb R}$, lässt sich das beweisen (das einfachste Anwendungsbeispiel des Satzes von Bargmann seit der zweiten Kohomologiegruppe von$\mathbb R$ist trivial) die Phasen in der Korrespondenz$h_t \to U_t$über den Satz von Kadison damit eindeutig untergebracht werden kann$h_t(P) = U_t P U_t^{-1}$wo

$$\mathbb R \ni t \mapsto U_t$$ ist eine stark stetige einparametrige Gruppe von unitären Operatoren.

Das Theorem von Stone impliziert dies sofort$U_t = e^{-itH}$für einen selbstadjungierten Operator$H$(definiert bis auf eine additive Konstante im Hinblick auf die Willkür der Phase von$U_t$).

Dieses Verfahren erstreckte sich auf andere Gruppen von einheitlichen Operatoren mit einem Parameter$e^{-isA}$Die Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien führt zu der bekannten Quantenversion des Noether-Theorems. Die kontinuierliche Symmetrie bewahrt die Zeitentwicklung, dh

$$e^{-isA} e^{-itH}= e^{-itH}e^{-isA}$$ für alle$t,s \in \mathbb R$, wenn und nur wenn das Observable$A$Erzeugung der kontinuierlichen Symmetrie ist eine Bewegungskonstante: $$e^{itH}Ae^{-itH}=A\:.$$

Es könnte erwähnenswert sein, dass die

Das kanonische Beispiel sind die Hilbert-Gitter, die die Birkhoff-von-Neumann-Quantenlogik interpretieren.

aber auch

Später wurde vorgeschlagen ... dass man sich die BvN-Quantengitter besser vorstellen kann als die Sätze in der linearen Logik , der kategorialen Logik der symmetrischen monooidalen Kategorien.

Lineare Logik ist die Logik der Ressourcen. Und auch

Es gibt auch den Vorschlag ... dass die Quantenlogik als die interne Logik der Bohr-Themen verstanden werden sollte.

Das ist

ein Topos, der mit jedem quantenmechanischen System verbunden ist, bei dem die Observablen und Zustände des physikalischen Systems mehr oder weniger natürlich in der internen Logik des Topos kodiert sind.