Warum ist gerade die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Question

Warum ist gerade die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Agnius Wassilauskas

Es mag eine dumme Frage sein, aber warum gerade für den Ausdruck der Wahrscheinlichkeitsdichte $k~|\Psi|^2 = k~\Psi^{*}\Psi$ , das wird vermutet $k=1$ ? So wie es jetzt ist, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in einer komplexen Ebene nur eine rechteckige Fläche für einen komplexen Vektor. Aber warum muss es gerade rechteckig sein? Warum kann nicht sein $k=\pi$ , so dass neu definierte Wahrscheinlichkeitsdichte $\pi |\Psi|^2$ würde eine Begrenzungskreisfläche eines komplexen Vektors bedeuten :

Oder irgendein anderer komplexer Ebenenbereichsskalierungswert $k$ ? Welche Auswirkungen hätte das auf die Quantenmechanik?

Marsch

Ich meine, Sie möchten, dass Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion normalisiert wird, damit die

\int_{all space} p (x) d x = 1

$\int_{\textrm{all space}}p(x)dx=1$ . Also vorausgesetzt

Ψ

$\Psi$ so normiert ist, dass das Integral seines Quadratmoduls 1 ist, muss dies die Wahl sein. Es geht wirklich um unsere Definitionen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, nicht um Quantenmechanik.

Antworten (2)

Warum ist gerade die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Ich meine, Sie möchten, dass Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion normalisiert wird, damit die $\int_{\textrm{all space}}p(x)dx=1$ . Also vorausgesetzt $\Psi$ so normiert ist, dass das Integral seines Quadratmoduls 1 ist, muss dies die Wahl sein. Es geht wirklich um unsere Definitionen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, nicht um Quantenmechanik.

JG · Answer 1

Es ist eine Normalisierungskonvention für $\Psi$ - in der Tat die einzig Vernünftige. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte ist $k|\Psi|^2$ , absorbiere einfach a $\sqrt{k}$ Faktor ein $\Psi$ . Diese Dichte sollte nicht als Fläche interpretiert werden. In der Tat hat der wahre Grund, warum wir quadrieren, nichts damit zu tun $2$ -dimensionale Geometrie.

J. Murray · Answer 2

So wie es jetzt ist, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in einer komplexen Ebene nur eine rechteckige Fläche für einen komplexen Vektor.

Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist, zu visualisieren $|\psi|^2$ als Fläche des Rechtecks, dessen Seitenlängen sind $\mathcal{Re}[\psi]$ Und $\mathcal{Im}[\psi]$ .

In der Standardformulierung der Quantenmechanik sind die Zustände $^\dagger$ eines Systems werden als Elemente eines Hilbert-Raums dargestellt $\mathscr H$ , und beobachtbare Größen werden als selbstadjungierte lineare Operatoren auf dargestellt $\mathscr H$ . Der erwartete Wert einer Observable $\hat A$ im Staat $\psi$ wird von gegeben

E_{ψ} [\hat{A}] := \frac{⟨ ψ, \hat{A} ψ ⟩}{“ ψ “^{2}} = \frac{⟨ ψ, \hat{A} ψ ⟩}{⟨ ψ, ψ ⟩}

$\mathbb E_\psi[\hat A]:= \frac{\langle \psi,\hat A\psi\rangle}{\Vert \psi \Vert^2}= \frac{\langle\psi,\hat A\psi\rangle}{\langle \psi,\psi\rangle}$

Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es bequem (aber nicht notwendig), zu wählen $\psi$ zu normalisieren, dh $\Vert \psi\Vert^2 = 1$ . Wenn wir diese Wahl treffen, der erwartete Wert des Positionsoperators $\big(\hat X\psi\big)(x) = x \psi(x)$ wird von gegeben

E_{ψ} [\hat{X}] = ⟨ ψ, \hat{X} ψ ⟩ = \int D X ψ^{*} (X) \cdot (X ψ (X)) = \int D X X | ψ (X) |^{2}

$\mathbb E_\psi[\hat X] = \langle \psi, \hat X \psi\rangle = \int \mathrm dx \ \psi^*(x) \cdot \big(x \psi(x)\big) = \int \mathrm dx \ x |\psi(x)|^2$

Vergleichen wir mit dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen aus der Standard-Wahrscheinlichkeitstheorie, erkennen wir $|\psi(x)|^2$ als Wahrscheinlichkeitsdichte, die der Positionsvariablen entspricht.

Beachten Sie schließlich, dass wir uns nicht normalisiert hätten $\psi$ , So $\Vert \psi \Vert^2 = C^2 \neq 1$ , dann würden wir die zu gebende Wahrscheinlichkeitsdichte durch finden $|\psi(x)|^2/C^2$ . Dadurch ergibt sich die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte durch gegeben ist $|\psi(x)|^2$ ohne zusätzliche numerische Faktoren ist lediglich ein Ergebnis unserer bequemen Wahl der Normalisierung.

$^\dagger$ Tatsächlich gilt dies nur für sogenannte reine Zustände. Es gibt einen allgemeineren Zustandsbegriff, in dem sie gemischt werden dürfen , aber das würde den Rahmen dieser Erklärung sprengen.

Warum ist gerade die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Agnius Wassilauskas

Marsch

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JG

J. Murray

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