Relativitätstheorie und Quantenmechanik

Ich habe über das Problem relativistischer Pfadintegrale nachgedacht und bin dabei auf mehrere Schwierigkeiten gestoßen. Nehmen wir an, wir haben ein Teilchen zunächst eine Position X ich bei T ich in einem bestimmten Bezugssystem. In einem anderen Trägheitsbezugssystem sind die Positionen X ich ' bei T ich ' . Die Pfadintegralmethode von Feynman ermöglicht es uns, das bedingte Problem zu berechnen, bei dem das Teilchen beobachtet werden muss X F bei T F da es ursprünglich in Position war X ich bei T ich :

P ( X F , T F | X ich , T ich )
In einem anderen Bezugsrahmen ist die Wahrscheinlichkeit
P ' ( X F ' , T F ' | X ich ' , T ich ' )
Der gesunde Menschenverstand würde uns das sagen
P ( X F , T F | X ich , T ich ) = P ' ( X F ' , T F ' | X ich ' , T ich ' )
Da wir dasselbe Ereignis beobachten. Allerdings kommt jetzt das Problem:
∫ − ∞ + ∞ D X F P ( X F , T F | X ich , T ich ) = 1
Was im Grunde bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren müssen. In den anderen Bezugsrahmen muss dasselbe gelten, aber gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist die Gleichzeitigkeitshyperfläche anders, aber die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Hyperfläche müssen sich trotzdem zu 1 addieren. Aber diese Wahrscheinlichkeiten sind im Allgemeinen nicht dieselben wie die Wahrscheinlichkeiten in einem anderen Bezugssystem. Wenn meine Argumentation richtig ist, dann scheinen mir drei Möglichkeiten übrig zu bleiben: 1. Die Wahrscheinlichkeiten sind in jedem Bezugsrahmen unterschiedlich. Das ist absurd. 2. Nicht alle Pfade sind erlaubt, so dass diese Bedingung tatsächlich erfüllt ist. Auch das ist absurd. 3. Es gibt keinen freien Willen, was bedeutet, dass ein Beobachter seine Geschwindigkeit nicht willkürlich wählen kann.

Ist meine Argumentation richtig?

Ich sehe nicht, wo der Widerspruch ist. Warum können sie nicht immer noch 1 ergeben?
Vielleicht hätte ich eine Rechnung zeigen sollen. Aber a priori sollte dies nicht der Fall sein.
Beachten Sie, dass die QM-Formulierung des Pfadintegrals nicht unbedingt relativistisch invariant ist (weil QM es nicht ist). In der allgemeinen Formulierung sind sowohl das Aktions- als auch das Pfadintegralmaß unter der Lorentz-Transformation invariant, also das gesamte Integral, aber dies gilt nicht unbedingt für die QM-Teilchenzustände.
Auch in der QM ist unklar, wie Positionseigenzustände sind | X ( T ) ⟩ transformieren unter Lorentz-Transformationen: die Position | X ⟩ ist ein Element des Hilbert-Raums, während T ist der Parameter des Hamiltonschen Flusses: Sie werden unterschiedlich behandelt.
@gented Ja, ich denke, beide Kommentare haben Recht. Ich habe jedoch genauer darüber nachgedacht und denke, wenn meine Argumentation richtig ist, dann wäre keine Standard-Wahrscheinlichkeitstheorie mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar. Denn meine Argumente beschränken sich nicht auf QM.
@ user139383 "dann wäre keine Standard-Wahrscheinlichkeitstheorie mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel" Nun, das Pfadintegral in QFT ist mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel, der Grund dafür ist, dass sowohl die Funktion innerhalb des Integrals als auch das Maß unter Lorentz-Transformationen unveränderlich sind.
Ich habe vor einiger Zeit eine detaillierte Ableitung des Klein-Gordon-Propagators aus dem 1. quantisierten Formalismus (ein Pfadintegral für ein relativistisches Teilchen mit der Eigenzeitwirkung der Weltlinie) geschrieben, vielleicht möchten Sie einen Blick darauf werfen: drive.google.com /file/d/1B6q4g_GEl4nFGtcwKWixyplYr8y2MH2E/…

Antworten (1)

Ich denke, wenn Sie voraussetzen, dass die Wahrscheinlichkeiten gleich sind, können Sie tatsächlich den relativistischen Skalarpropagator ableiten. Bitte verzeihen Sie mir, dass ich keine Zeit habe, die Details hier auszuarbeiten. Aber es muss funktionieren. Das heißt, unter Schub,

| X , T ⟩ → ∫ D j ' K ( X ' − j ' , T ' ) | j ' ⟩

Wo K ist eine Art Fourier-Transformation von E ' / E . (Erinnere dich daran ∫ D 3 P / E ∼ ∫ D 4 P δ ( P 2 − M 2 ) ist Lorentz-invariant.)

Eine Art Kompositionsgesetz auferlegen

∫ D X 1 P ( X 2 , T 2 | X 1 , T 1 ) P ( X 1 , T 1 | X 0 , T 0 ) ∼ P ( X 2 , T 2 | X 1 , T 1 )

was meiner Meinung nach das Integral enthält, das Sie in Ihrer Frage geschrieben haben, sollte Ihnen dann eine Konsistenzbedingung geben, die es Ihnen ermöglichen sollte, zu lösen P ( X F , T F | X ich , T ich ) .

Kurz gesagt, Sie suchen nach einheitlichen skalaren Darstellungen der Lorentz-Gruppe. Es muss funktionieren. Was Sie in Ihrer Frage gezeigt haben, ist, dass dies nicht willkürlich geschehen kann. Der Propagator wird durch die Quantenmechanik und die spezielle Relativitätstheorie eindeutig festgelegt.

PS Daraus muss nicht geschlossen werden, dass nicht alle Pfade im Pfadintegral erlaubt sind. Ich denke, es sollte ausreichen, dass Pfade, die die Kausalität verletzen, eine große Aktion ergeben, deren Phasen sich im Pfadintegral aufheben und den kausalen Pfad als dominanten zurücklassen.

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