Normierung des Pfadintegrals

Question

Normierung des Pfadintegrals

Nick

Wenn man den Pfadintegralpropagator definiert, muss der Propagator normalisiert werden (da er Ihnen eine Wahrscheinlichkeitsdichte geben würde). Es gibt zwei Formeln, die verwendet werden.

1) Original (v1+v2) : Die erste Formel (der ich intuitiv zustimmen kann) besagt:

\begin{matrix} (1) & \int_{D X_{B}} D X_{B} {| K (X_{B} T_{B} | X_{A} T_{A}) |}^{2} = 1 \end{matrix}

$\tag{1} \int_{Dx_b}dx_b\left|K(x_bt_b|x_at_a)\right|^2=1$

für alle Werte von $x_a$ auf festen Werten von $t_a, t_b$ und wo $Dx_b$ bedeutet die Domäne von $x_b$ .

1') Update (v3+v4) : Ich habe meine Meinung geändert (um mehr mit den Born-Regeln übereinzustimmen). Die erste Formel (der ich intuitiv zustimmen kann) besagt:

\begin{matrix} (1') & {| \int_{D X_{B}} D X_{B} K (X_{B} T_{B} | X_{A} T_{A}) |}^{2} = 1 \end{matrix}

$\tag{1'} \left|\int_{Dx_b}dx_bK(x_bt_b|x_at_a)\right|^2=1$

für alle Werte von $x_a$ auf festen Werten von $t_a, t_b$ und wo $Dx_b$ bedeutet die Domäne von $x_b$ .

2) Die zweite Formel (die eigentlich auch sehr intuitiv ist) besagt:

\begin{matrix} (2) & lim_{T_{B} \to T_{A}} K (X_{B} T_{B} | X_{A}, T_{A}) = δ (X_{B} - X_{A}) . \end{matrix}

$\tag{2}\lim\limits_{t_b\rightarrow t_a}K(x_bt_b|x_a,t_a) = \delta(x_b-x_a).$

Jetzt werden diese normalerweise als gleichwertig behandelt, aber ich kann nicht direkt sehen, wie das der Fall sein kann. Ist die zweite Formel nicht weniger restriktiv?

Antworten (2)

Normierung des Pfadintegrals

QMechaniker · Answer 1

I) Konzeptionell ist die ursprüngliche Gl. (1)

\begin{matrix} (1) & \int_{R} D X_{F} {| K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |}^{2} \overset{?}{=} 1 (\leftarrow Falsch!) \end{matrix}

$\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~ \left| K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right|^2 ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Wrong!})\tag{1}$

kollidiert (wie OP unabhängig realisiert) mit dem Grundprinzip des Feynman-Pfadintegrals, dass die Amplitude

K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = \sum_{H ich S T .} \dots

$K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~\sum_{\rm hist.}\ldots$

ist eine Summe von Geschichten, während die Wahrscheinlichkeit

P (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = | K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |^{2} \neq \sum_{H ich S T .} \dots

$P( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~|K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )|^2~\neq~\sum_{\rm hist.}\ldots$

ist keine Summe von Geschichten.

Konkret bedeutet das Versagen von Gl. (1) kann auch wie folgt gesehen werden. Wenn wir davon ausgehen $^1$

\begin{matrix} (A) & K (X_{ich}, T_{ich}; X_{F}, T_{F}) = \bar{K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich})}, \end{matrix}

$K( x_i ,t_i ; x_f ,t_f ) ~=~ \overline{K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i ) }, \tag{A}$

und die (Halb-)Gruppeneigenschaft von Feynman-Propagatoren/Kernen

\begin{matrix} (B) & K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = \int_{R} D X_{M} K (X_{F}, T_{F}; X_{M}, T_{M}) K (X_{M}, T_{M}; X_{ich}, T_{ich}), \end{matrix}

$K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_m ~ K(x_f,t_f;x_m,t_m) K(x_m,t_m;x_i,t_i),\tag{B}$

dann die linke. von OPs ursprünglicher erster Gl. (1) mit $(x_i,t_i)=(x_f,t_f)$ ist ungleich zu $1$ , sondern wird stattdessen unendlich

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = & δ (X_{F} - X_{ich}) = δ (0) = \infty, \\ X_{ich} = & X_{F}, T_{ich} = T_{F}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~&\delta(x_f-x_i)~=~\delta(0)~=~\infty, \cr x_i~=~&x_f,\qquad t_i~=~t_f, \end{align}\tag{C}$

wegen der zweiten Formel von OP (2).

II) Das unendliche Normalisierungsergebnis (C) kann intuitiv wie folgt verstanden werden. Erinnere dich daran, dass die Pfade im Pfadintegral die Dirichlet-Randbedingung erfüllen $x(t_i)=x_i$ Und $x(t_f)=x_f$ . Mit anderen Worten, das Teilchen ist lokalisiert in $x$ -Positionsraum zu Anfangs- und Endzeiten. Auf der anderen Seite befindet sich ein Partikel in $x$ -Positionsraum entspricht einer Delta-Funktion Wellenfunktion $\Psi(x)=\delta(x-x_0)$ , die nicht normierbar ist, vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge.

III) Konzeptionell ist die erste Gl. (1')

\begin{matrix} (1') & | \int_{R} D X_{F} K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) | \overset{?}{=} 1 (\leftarrow Stellt sich letztendlich als falsch heraus!) \end{matrix}

$\left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right| ~\stackrel{?}{=}~1 \quad(\leftarrow\text{Turns out to be ultimately wrong!}) \tag{1'}$

ist die Aussage, dass ein Teilchen, das zunächst bei einem Raumzeitereignis lokalisiert wird $(x_i,t_i)$ muss mit Wahrscheinlichkeit 100% innerhalb liegen $x$ -Raum $\mathbb{R}$ zu einer letzten Zeit $t_f$ , da unser QM-Modell keine Erzeugung oder Vernichtung von Partikeln zulässt. Allerdings ist eine solche Vorstellung von absoluten Wahrscheinlichkeiten des Feynman-Kerns $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ kann nicht beibehalten werden, wenn ein Konzept in mathematische Formeln umgewandelt werden muss, wie in diesem Phys.SE-Beitrag ausführlich besprochen . Im Allgemeinen ist die erste Gl. (1') gilt nur für kurze Zeiten $\Delta t \ll \tau$ , Wo $\tau$ ist eine charakteristische Zeitskala des Systems.

IV) Beispiel. Betrachten wir abschließend das Beispiel eines nicht-relativistischen freien Teilchens in 1D. Der Feynman-Propagator liest dann

\begin{matrix} (D) & \begin{aligned} K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = & \sqrt{\frac{A}{π}} e^{- A (Δ X)^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ} \frac{1}{Δ T}} \exp [\frac{ich M}{2 ℏ} \frac{(Δ X)^{2}}{Δ T}], \\ A := & \frac{M}{2 ich ℏ} \frac{1}{Δ T}, \\ Δ X := & X_{F} - X_{ich}, \\ Δ T := & T_{F} - T_{ich} \neq 0. \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i ) ~=~& \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A(\Delta x)^2}\cr ~=~& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right],\cr A~:=~&\frac{m}{2 i\hbar} \frac{1}{\Delta t} , \cr \Delta x~:=~&x_f-x_i, \cr \Delta t~:=~&t_f-t_i ~\neq ~0. \end{align}\tag{D}$

[Es ist eine lehrreiche Aufgabe zu zeigen, dass Formel (D) die Gl. (AC) und OPs zweite Formel (2).] Das Gaußsche Integral ist vorbei $x_f$ ist ein

\begin{matrix} (E) & \int_{R} D X_{F} K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = 1, \end{matrix}

$\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~1,\tag{E}$

was zeigt, dass die erste Gl. (1') gilt tatsächlich für ein freies Teilchen. Der Integrand

\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} | K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |^{2} = & \frac{| A |}{π} = \frac{M}{2 π ℏ} \frac{1}{| Δ T |}, \\ Δ T \neq & 0, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~& \frac{|A|}{\pi}~=~ \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|}, \cr \Delta t ~\neq ~&0,\end{align}\tag{F}$

auf der linken Seite. von OPs ursprünglicher erster Gl. (1) ist unabhängig vom Mittelpunkt $x_m$ . Daher das Integral über $x_m$ (dh links von OPs erster Gleichung (1)) wird unendlich

\begin{matrix} (G) & \begin{aligned} \int_{R} D X_{F} | K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |^{2} = & \frac{M}{2 π ℏ} \frac{1}{| Δ T |} \int_{R} D X_{F} = \infty, \\ Δ T \neq & 0, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~& \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~=~\infty, \cr \Delta t ~\neq ~&0,\end{align}\tag{G}$

in Übereinstimmung mit dem, was wir in Gl. (C) in Abschnitt I.

Verweise:

RP Feynman und AR Hibbs, Quantenmechanik und Pfadintegrale, 1965.

--

$^1$ Beachten Sie, dass Ref. 1 definiert $K(x_f,t_f;x_i,t_i)=0$ Wenn $t_i>t_f$ , siehe Ref. 1 zwischen Gl. (4-27) und Gl. (4-28). Hier nehmen wir stattdessen die Eigenschaft (A) an.

Ja, natürlich ! Entschuldigung, ich wage zu schnell zu verallgemeinern, ja nach der zweiten Gleichung sollte das gelten ! Also sollte ich das auch als verlangen $t_a\rightarrow t_b$ Das $x_a \neq x_b$ denn meine delta-funktion würde ja explodieren ! Oder stimmt diese Überlegung nicht?
Ich habe meine Gleichungen angepasst, ich weiß nicht, ob sie jetzt korrekt erscheinen. Aber ich glaube, dass die erste Gleichung verlangt, dass der Propagator für feste Zeitwerte normiert wird , die nicht gleich sind, und dass die zweite Gleichung verlangt, dass für feste Raumwerte die Grenze gilt.
@Qmechanic, nochmals vielen Dank für das tolle Update. Die genauen Formeln können natürlich auch den Büchern von Kleinert und Schulman entnommen werden. Ihre Ableitung war eigentlich weniger mein Anliegen (obwohl natürlich sehr lehrreich). Mir ging es eher um die Frage, ob beides nötig ist. Das Analogon zur Quantenmechanik zeigt dies natürlich auf schöne Weise! Ich hätte vielleicht auf Argumente gehofft, die nichts von der Quantenmechanik verwenden, aber das wird reichen! :)

Orangenlimonade · Answer 2

Deine erste Formel ist falsch. Diese Verteilung kann nicht normalisiert werden. Wir können relative Wahrscheinlichkeitsverteilungen nur aus dem absoluten Quadrat des Kernels erhalten. Es hat einen Normierungsfaktor, aber das ist ein anderer Faktor, dieser Faktor bezieht sich auf die Definition des Pfadintegrals. Siehe Abschnitt 4.1 in Feynmans „Path Integrals in Quantum Mechanics“, um zu verstehen, wie dieser Faktor erhalten wird. Wir wissen

⎰_{D X_{B}} K (X_{C} T_{C} | X_{B} T_{B}) D X_{B} K (X_{B} T_{B} | X_{A} T_{A}) = K (X_{C} T_{C} | X_{A} T_{A})

${\lmoustache_{Dx_b}}{K(x_ct_c|x_bt_b)}{dx_b}{K(x_bt_b|x_at_a)}={K(x_ct_c|x_at_a)}$ Wo

t_{c} > t_{b} > t_{a}

$t_c>t_b>t_a$

In Ihrer zweiten Formel $t_b>t_a$ , also ist der Grenzwert ein linker Grenzwert.

Anwenden der Grenze von $t_c\rightarrow t_a$ zum zweiten Integral erhalten wir (was Ihre erste Formel hätte sein sollen)

⎰_{D X_{B}} K (X_{C} T_{C} | X_{B} T_{B}) D X_{B} K (X_{B} T_{B} | X_{A} T_{A}) = δ (X_{C} - X_{A})

${\lmoustache_{Dx_b}}{K(x_ct_c|x_bt_b)}{dx_b}{K(x_bt_b|x_at_a)}={\delta}{(x_c-x_a)}$

So können wir in der Grenze zeigen $t_c\rightarrow t_a$

K (X_{C} T_{C} | X_{A} T_{A}) = δ (X_{C} - X_{A})

${K(x_ct_c|x_at_a)}={\delta}{(x_c-x_a)}$

Der absolute Wert der Feynman-Propagatoren multipliziert sich $dx_c$ gibt Ihnen eine relative Wahrscheinlichkeit und keine exakte Wahrscheinlichkeit. Aus diesem Grund sollte das Integral in Ihrer Gleichung divergieren. Wenn das beobachtbare $x$ nahm eine Menge endlicher Werte an ${x_1,....,x_N}$ , dann würden wir das Integral durch eine einfache Summe ersetzen und Sie würden in derselben Grenze erhalten:

Σ_{X_{ich}} K (X_{M} T_{C} | X_{ich} T_{B}) K (X_{ich} T_{B} | X_{N} T_{A}) = δ_{M N}

${\Sigma_{x_i}}{K(x_mt_c|x_it_b)}{K(x_it_b|x_nt_a)}={\delta_{mn}}$

Es werden also eigentlich beide Anforderungen benötigt? Der erste sagt uns etwas über die globale Normalisierung, der zweite sagt uns etwas über *die Phase des Propagators und wie er sich wann verhalten sollte $t_b\rightarrow t_a$ , und natürlich die Zentrierung, da sie Partikel beschreibt und wir wollen, dass sie sich kontinuierlich weiterentwickeln. Ist das dann richtiger?
Ja, aber ich versuche gerade, einen Weg zu gehen, in dem wir den Weg Integral und Quantenmechanik definieren, ohne Schrödinger mit jeglichem Quantenwissen zu verwenden.
Ihre Argumentation ergibt für mich in der Tat durchaus Sinn, wenn ich von den bekannten Ergebnissen der Quantenmechanik zu einer Wegintegralformulierung übergehen würde. Jetzt habe ich gestern meine Frage angepasst, um die erste Formel korrekter zu machen (ich hatte falsch gepostet). Was der Text, den ich gerade lese, versucht, die Quantenmechanik so zu formulieren, dass sie auf der gleichen Linie wie die klassische Mechanik ist (Prinzip der "kleinsten" Wirkung) OHNE Vorkenntnisse der Quantenmechanik. Wir beginnen mit dem 2-Spalt-Experiment und wenden die Bornsche Regel an. Diese Regel besagt, dass wir alle Pfade summieren sollten (Ende von Teil 1)
(Teil 2) Dies gibt uns die Idee des Pfadintegrals (tatsächlich sagt Feynman dies als Summierung über alle Pfade). Jetzt höre ich Ihre nächste Frage: "Okay, also wie bestimmt man das 'Gewicht' eines Pfades". Nun, zusammen mit den geborenen Regeln sagen wir einfach, dass das Gewicht (oder die Phase von was auch immer) die Form haben sollte $exp(-\frac{i}{\hbar}S)$ , wobei das i es tatsächlich zu einer Phase machen soll (damit wir die Interferenzeffekte erhalten, die im Doppelspaltexperiment vorhanden sind), $\hbar$ ist eine sehr kleine Zahl, die das verlangt (nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung) (Ende von Teil2)
(Teil 3), sollten wir haben $\delta S = 0$ , jetzt seit $\hbar\neq 0$ , wird die Nachfrage mit dieser Phase $\delta s \approx 0$ . Und in der klassischen Grenze, wo $S >> \hbar$ das gibt es tatsächlich $\delta S = 0$ . Wir haben also eine Phase definiert , die einen perfekten Übergang macht. Ich weiß, dass Sie dies mit dem Zeitentwicklungsoperator aus der Quantenmechanik ableiten können, aber das ist eines der Dinge, die NICHT verwendet werden. Aber um das Ganze abzuschließen, ich mag Ihren Kommentar sehr, da er mir einen Einblick in die Verbindung zwischen der Orthogonalität der Wellenfunktion und meiner zweiten Formel gegeben hat! Ich werde auch meinen Feynman überprüfen. Danke!

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