Limit als x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 für den Propagator des harmonischen Oszillators

Question

Limit als x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 für den Propagator des harmonischen Oszillators

user71299

Betrachten Sie ein nicht-relativistisches Massenteilchen $m$ , entlang der bewegen $x$ -Achse in einem Potential $V(x) = m\omega^2x^2/2$ . Verwenden Sie Pfad-Integral-Methoden, um die Wahrscheinlichkeit zu finden, das Teilchen dazwischen zu finden $x_1$ Und $x_1 + dx_1$ wenn das Teilchen bei ist $x_0$ zum Zeitpunkt $t = 0$ .

Man findet den Verbreiter zu sein

P (X_{1}, T_{1}; X_{0}, 0) = \sqrt{\frac{M ω}{2 π ich ℏ Sünde ω T_{1}}} e^{\frac{ich M ω}{2 ℏ Sünde ω T_{1}} ((X_{0}^{2} + X_{1}^{2}) \cos ω T_{1} - 2 X_{0} X_{1})}

$P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin \omega t_1}}}e^{{{im\omega}\over{2\hbar \sin\omega t_1}}((x_0^2 + x_1^2)\cos\omega t_1 - 2x_0x_1)}$ und die erforderliche Wahrscheinlichkeit zu sein

{| \int P (X_{1}, T_{1}; X_{0}, 0) ψ (X_{1}) D X_{1} |}^{2}

$\left|\int P(x_1, t_1; x_0, 0)\psi(x_1)\,dx_1\right|^2$ für ein Wellenpaket

ψ

$\psi$ lokalisiert zwischen

x_{1}

$x_1$ ,

x_{1} + d x_{1}

$x_1 + dx_1$ . An der Grenze

x_{1} \to x_{0}

$x_1 \to x_0$ , wir haben

lim_{(X_{1} - X_{0}) \to 0} P (X_{1}, T_{1}; X_{0}, 0) = \sqrt{\frac{M ω}{2 π ich ℏ Sünde ω T}} e^{\frac{ich M ω}{ℏ Sünde ω T} (X_{0}^{2} \cos ω T - X_{0}^{2})} .

$\lim_{(x_1 - x_0) \to 0} P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin\omega T}}e^{{{im\omega}\over{\hbar\sin\omega T}}(x_0^2\cos\omega T - x_0^2)}.$

Meine Frage ist, welche physikalische Bedeutung es hat, diese Grenze zu nehmen $x_1 \to x_0$ ?

Phönix87

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit in einem infinitesimalen Intervall haben möchten, müssen Sie nicht integrieren. die Grenze stellt dann die Wahrscheinlichkeit dar, das Teilchen dazwischen zu finden

x_{0}

$x_0$ Und

d x_{0}

$\text dx_0$ zum Zeitpunkt

t

$t$ .

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Limit als x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 für den Propagator des harmonischen Oszillators

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit in einem infinitesimalen Intervall haben möchten, müssen Sie nicht integrieren. die Grenze stellt dann die Wahrscheinlichkeit dar, das Teilchen dazwischen zu finden $x_0$ Und $\text dx_0$ zum Zeitpunkt $t$ .

David Vercauteren · Answer 1

Die Wahrscheinlichkeitsdichte

lim_{X_{1} \to X_{0}} P (X_{1}, T_{1}; X_{0}, 0)

$\lim_{x_1\to x_0} P(x_1, t_1; x_0, 0)$ ist im Grunde die Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Teilchen an Position

x_{0}

$x_0$ nach einiger Zeit wieder an dieser Position zu sein

t_{1}

$t_1$ ging vorbei.

Benutzer63931 · Answer 2

Als $T = t_1 - t_0 \to 0$ , wir haben

\begin{aligned} lim_{T_{1} - T_{0} \to 0} ⟨ X_{1}, T_{1} | X_{0}, T_{0} ⟩ & = lim_{T \to 0} {(\frac{M ω}{2 π ich Sünde ω T})}^{1 / 2} exp [\frac{ich M ω}{2 Sünde ω T} ((X_{1}^{2} + X_{0}^{2}) \cos ω T - 2 X_{0} X_{1})] \\ = lim_{ϵ = ich T / M \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 π ϵ}} exp [- \frac{(X_{1} - X_{0})^{2}}{2 ϵ}] = δ (X_{1} - X_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align}\lim_{t_1 -~ t_0~ \to~ 0} \langle x_1, t_1\,|\,x_0, t_0\rangle &= \lim_{T~ \to~ 0}\left({{m\omega}\over{2\pi i\sin\omega T}}\right)^{1/2}\text{exp}\left[{{im\omega}\over{2\sin\omega T}}\left(\left(x_1^2 + x_0^2\right)\cos \omega T - 2x_0x_1\right)\right]\\ &=\lim_{\epsilon ~= ~iT/m~ \to~ 0} {1\over{\sqrt{2\pi\epsilon}}}\text{exp}\left[-{{(x_1 - x_0)^2}\over{2\epsilon}}\right] = \delta(x_1 - x_0).\end{align}$ Dies ist genauso wie von der Orthonormalität von erwartet

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$ Eigenwerte bei

t = t_{0}

$t = t_0$ .

QMechaniker · Answer 3

Ideologisch gesprochen ist der Absolutwert des Propagators quadriert

\begin{matrix} (1) & | K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |^{2} D X_{F} = \frac{M ω}{2 π ℏ Sünde ω Δ T} D X_{F}, Δ T := T_{F} - T_{ich} > 0, \end{matrix}

$\tag{1} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2 \mathrm{d}x_f ~=~ \frac{m\omega}{2\pi\hbar\sin\omega \Delta t}\mathrm{d}x_f, \qquad \Delta t~:=~t_f-t_i~>~0,$

ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein harmonischer Oszillator anfängt $t_i$ in Position $x_i$ endet innerhalb des Positionsintervalls $[x_f,x_f+\mathrm{d}x_f]$ zum Zeitpunkt $t_f$ .

Insbesondere OP kann den Fall untersuchen $x_i=x_f$ , dh die Wahrscheinlichkeit, in einer bestimmten Zeit an dieselbe Position zurückzukehren $\Delta t$ .

Entgegen der Intuition ist nach Gl. (1) hängt die Wahrscheinlichkeit nicht von der Start- und Endposition ab $x_i$ Und $x_f$ überhaupt! Dies sieht die Tatsache vor, dass der Begriff absoluter (im Gegensatz zu relativen) Wahrscheinlichkeiten des Feynman-Kerns $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ kann auf einem nicht kompakten Positionsraum nicht gehalten werden, vgl. zB Art.-Nr. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag.

Im Allgemeinen ist die probabilistische Interpretation von Gl. (1) gilt nur für kurze Zeiten $\Delta t\ll \tau$ , Wo $\tau$ ist eine charakteristische Zeitskala des Systems.

Verweise:

RP Feynman und AR Hibbs, Quantenmechanik und Pfadintegrale, 1965.

Limit als x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 für den Propagator des harmonischen Oszillators

user71299

Phönix87

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David Vercauteren

Benutzer63931

QMechaniker

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