Ist der Hilbert-Raum eines fermionischen harmonischen Oszillators ein Hilbert-Raum über der Grassmann-Algebra?

Ich lese gerade das Buch Basics of Thermal Field Theory, das auch auf der Webseite des Autors http://www.laine.itp.unibe.ch/basics.pdf erhältlich ist

Im Abschnitt 4.1 (Pfadintegral für die Zustandssumme eines fermionischen Oszillators) führen sie Grassmann-Variablen ein C Und C ∗ die insbesondere mehrere Eigenschaften erfüllen

  • C , C ∗ werden als unabhängige Variablen behandelt, wie z X , P .
  • C 2 = ( C ∗ ) 2 , C C ∗ = − C ∗ C
  • C , C ∗ sind für Antipendeln definiert A ^ , A ^ † sowie.

Dies sind klassische Analoga von fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren A ^ Und A ^ † . Um das Pfadintegral zu definieren (unter Verwendung klassischer Felder C ( τ ) Und C ∗ ( τ ) )

∫ D C ( τ ) D C ∗ ( τ ) e − 1 H S
des fermionischen harmonischen Oszillators führen sie kohärente Zustände ein
| C ⟩ = e − C A ^ † | 0 > .

Also hier C spielt die Rolle einer "Nummer". Die einzige Möglichkeit, wie ich diese Definition sinnvoll finde, besteht darin, Skalare des Hilbert-Raums zu erweitern: anstelle des zweidimensionalen Hilbert-Raums H wir betrachten den Hilbert-Raum über der Grassmann-Algebra A = C < C , C ∗ > dh Tensorprodukt H A = A ⊗ C H , dann ist der fermionische kohärente Zustand ein Element von H A , aber kein Element von H .

Für die Quantisierung von Fermionen müssen wir also Skalare des Hilbert-Raums erweitern C zu Grassmann-Zahlen A . Ist das korrekt?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/612252/2451 und darin enthaltene Links.
Hallo Alex, ich habe deine letzte Unterfrage zu Ressourcenempfehlungen entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.
Sie bestehen sicherlich darauf, dass die c s keine Operatoren (Matrizen) sind; sie stellen sie sich nicht als 2x2-Matrizen vor!
Nicht sicher; sehen Sie, ob es konsistent ist, dh ein - Zeichen aufnimmt, wenn Sie an der Matrix vorbeigleiten. Es ist offensichtlich, dass sie eine Art kohärente Zustände replizieren, also muss der Eigenwert einer Fermion-Vernichtungsoperation fermionisch sein und die beiden fermionischen Objekte müssen anti-kommutieren.

Antworten (1)

Ich weiß nichts über Superzahlen, aber die Konstruktion, die Sie für den Fermi-Oszillator erwähnen, scheint leicht zu formalisieren.

Auf der Wikipedia-Seite sagen sie, dass die Menge der Polynome in N Grassmann-Generatoren können mit der äußeren Algebra eines linearen Raums identifiziert werden, und im Fall einer komplexen Grassmann-Zahl sollten wir ein Leerzeichen auf der komplexen nehmen. Eigentlich finde ich das etwas ungenau, da wir in der Quantenfeldtheorie das wollen θ 's und θ ∗ Es handelt sich um zwei unabhängige Sätze von Grassmann-Generatoren. Tatsächlich funktioniert alles, wenn wir die Menge der Grassmann-Polynome mit der kovarianten äußeren Algebra identifizieren:

Λ ∙ ( v ⊕ v ∗ ) ,
Wo v Und v ∗ sind zwei komplexe anti-isomorphe Vektorräume (ich habe das selbst herausgefunden, also korrigiere mich bitte, wenn ich falsch liege).

Jedenfalls ist dies nicht der eigentliche Punkt der Frage. Angenommen, Sie haben eine Reihe von Grassmann-Zahlen G von zwei Elementen erzeugt { θ , θ ∗ } . Wir wollen einem Ausdruck wie z P ( θ , θ ∗ ) | a ⟩ , und wir können dies auf die gleiche Weise tun, die es uns ermöglicht, einen reellen Vektor mit einem komplexen Skalar zu multiplizieren: Tensorprodukt.

Wenn der "physische" Hilbert H Raum besteht aus Vektoren:

| ⟩ = a | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ,
Wo a , β gewöhnliche komplexe Zahlen sind, definieren wir einen Vektorraum H ' = G ⊗ H . Die Multiplikation mit Grassmann-Zahlen kann auf zerlegbaren Tensoren definiert werden durch:
Q ( P ⊗ | ⟩ ) = ( Q P ) ⊗ | ⟩
und durch Linearität auf den ganzen Raum ausgedehnt H ' . Vor allem das Alte H kann als der von den Elementen aufgespannte Unterraum angesehen werden 1 ⊗ | ⟩ , und die Multiplikation mit dem Skalar λ In H stimmt mit der Multiplikation mit der "Grassmann-Zahl" überein λ An H ' .

Alle anderen Dinge sind nur formale Manipulationen, plus einige Ad-hoc-Definitionen, um beispielsweise der Konjugation einen Sinn zu geben P | ⟩ → ⟨ | P ∗ . Sie können zum Beispiel den "kohärenten Zustand" einführen

| θ ⟩ = | 0 ⟩ + θ | 1 ⟩ ,
was ein Eigenvektor von ist A ≡ Ausweis G ⊗ A :
A | θ ⟩ = θ | θ ⟩ ,
das mag der Grund sein, warum Ihr Buch Grassmann-Zahlen einführt.

In den Kommentaren habe ich dieselbe Idee vorgeschlagen: Hilbert-Räume für Fermionen sind noch nicht vorbei C , aber über Grassman-Algebra durch Erweiterung von Skalaren. Es sieht nach einer vernünftigen Interpretation aus, aber ich bin glücklicher, wenn ich eine Referenz mit klarer Erklärung dieses Punktes als "Standard" für die Quantisierung von Fermifeldern sehe.
Hallo Alex, alle Bücher, die ich gesehen habe, multiplizieren intuitiv Vektoren mit Antipendelzahlen ohne weitere Kommentare, also kann ich dir nicht helfen. Das ist meine persönliche Art, es zu verstehen, und ich kann darin keine Schwierigkeiten erkennen, aber ich verstehe, dass Sie eine „standardisierte“ Behandlung sehen möchten. Sie könnten versuchen, Swanson, „Path integrals and quantenprocesses“, zu lesen, das einen ziemlich ausführlichen Abschnitt zu diesem Thema enthält, aber nicht auf diese (etwas langweiligen) Details eingeht. Hoffe das hilft
Ist der Hilbert-Raum eines fermionischen harmonischen Oszillators ein Hilbert-Raum über der Grassmann-Algebra?
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