Propagator im Pfad Integraler Quantenmechanismus als grüne Funktion der Schrödinger-Gleichung

Question

Propagator im Pfad Integraler Quantenmechanismus als grüne Funktion der Schrödinger-Gleichung

Physik
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Greens-Funktionen
Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung

TheoPhy

Ich studiere in Ryders QFT-Buch. Ich beschäftige mich mit QM im Pfad-Integral-Ansatz und er versucht zu beweisen, dass der Propagator $K(x_f t_f;x_i t_i)$ ist die Green-Funktion der Schrödinger (S.)-Gleichung:

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} ψ (X_{F} T_{F}) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} ψ (X_{F} T_{F}) = v (X_{F} T_{F}) ψ (X_{F} T_{F}) (1)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}\psi(x_f t_f) + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \psi(x_f t_f) =V(x_ft_f) \psi(x_ft_f) \quad (1) \label{one} \end{equation}$

Wir haben eine generische Wellenfunktion, die die S.-Gleichung erfüllt $\psi$ und wir können es umschreiben als (Gl. 5.27)

ψ (X_{F} T_{F}) = ϕ (X_{F} T_{F}) - \frac{ich}{ℏ} \int D X D T K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) v (X, T) ψ (X T) (2)

$\begin{equation} \psi(x_f t_f)= \phi(x_f t_f) - \frac{i}{\hbar}\int dx dt \; K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \quad (2) \label{eq:2} \end{equation}$

Wo $\phi(x_f t_f)$ ist eine freie ebene Welle, die daher die freie S. eq erfüllt:

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} ϕ (X_{F} T_{F}) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} ϕ (X_{F} T_{F}) = 0 (3)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}\phi(x_f t_f) + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \phi(x_f t_f) =0 \quad (3) \end{equation}$

Und $K_0$ ist der freie Propagator. Wenn man also eq(1) in eq(2) einsetzt und eq (3) verwendet, leitet Ryder dies ab

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) = \frac{- ich}{ℏ} δ (X_{F} - X) δ (T_{F} - T)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$

Mein Problem ist, zu dieser Gleichung zu kommen. Wenn ich (2) in (1) einstecke, kann ich so weit kommen

\frac{- ich}{ℏ} \int D X D T [\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}}] (K_{0} (X_{F} T_{F}; X T)) \cdot v (X T) ψ (X T) = v (X_{F} T_{F}) ϕ (X_{F} T_{F}) - \frac{ich}{ℏ} v (X_{F} T_{F}) \int D X D T K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) v (X, T) ψ (X T)

$\begin{equation} \frac{-i}{\hbar}\int dx dt \; \left[\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f}\right] ( K_0(x_f t_f;x t)) \cdot V(xt) \psi(xt) = V(x_ft_f) \phi(x_ft_f) - \frac{i}{\hbar} V(x_ft_f) \int dx dt K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \end{equation}$

wo ich (3) auf der linken Seite verwendet habe.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/65489/2451 , physical.stackexchange.com/q/22639/2451 und Links darin.

TheoPhy

Die Art von Hilfe, aber nicht mit der ganzen Geschichte

Kosmas Zachos

WP sollte dir helfen. Ich frage mich, ob Sie sich über die Funktionen der Grünen im Klaren sind .

TheoPhy

Danke, der letzte Link ist ganz gut! Ist diese Gleichung also richtig?

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) = \frac{- ich}{ℏ} δ (X_{F} - X) δ (T_{F} - T)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$ oder sollte es die grüne funktion sein statt

K_{0}

$K_0$ ?

TheoPhy

Aber ich sehe immer noch nicht, wie die rechte Seite verschwinden soll, insbesondere der Begriff

V (x_{f} t_{f}) ϕ (x_{f} t_{f})

$V(x_f t_f)\phi(x_f t_f)$

Antworten (1)

Propagator im Pfad Integraler Quantenmechanismus als grüne Funktion der Schrödinger-Gleichung

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/65489/2451 , physical.stackexchange.com/q/22639/2451 und Links darin.
WP sollte dir helfen. Ich frage mich, ob Sie sich über die Funktionen der Grünen im Klaren sind .
Danke, der letzte Link ist ganz gut! Ist diese Gleichung also richtig? $\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) = \frac{- ich}{ℏ} δ (X_{F} - X) δ (T_{F} - T)$ $\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$ oder sollte es die grüne funktion sein statt $K_0$ ?
Aber ich sehe immer noch nicht, wie die rechte Seite verschwinden soll, insbesondere der Begriff $V(x_f t_f)\phi(x_f t_f)$

Kosmas Zachos · Answer 1

Es tut mir leid, dass ich keinen Zugang zu Ryder habe und würde es sowieso nur ungern mit Ihnen lesen. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass es aggressiv verwirrend ist, anzurufen $K_0$ Der Propagator, da er das inhomogene freie TDSE löst, ist also eine Green-Funktion, normalerweise G genannt , die die drei verknüpften Antworten dem Propagator, der fundamentalen Lösung der homogenen Gleichung, gegenüberstellen.

Es könnte Ihnen helfen, oder auch nicht, zu beachten, dass, wenn Sie stattdessen annehmen , dass es sich um eine grüne Funktion handelt,

\begin{matrix} (5) & \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}} K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) = ich ℏ δ (X_{F} - X) δ (T_{F} - T) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = i\hbar \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \tag{5} \end{equation}$ Wenn Sie dann (2) auf der linken Seite von (1) einfügen, erhalten Sie nur aufgrund von (3) direkt

(\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}}) ψ (X_{F} T_{F}) = - \frac{ich}{ℏ} \int D X D T (\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X_{F}^{2}} + ich ℏ \frac{\partial}{\partial T_{F}}) K_{0} (X_{F} T_{F}; X T) v (X, T) ψ (X T) = \int D X D T δ (X_{F} - X) δ (T_{F} - T) v (X, T) ψ (X T) = v (X_{F} T_{F}) ψ (X_{F} T_{F}),

$\begin{equation} \left(\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \right ) \psi(x_f t_f)\\ = - \frac{i}{\hbar}\int dx dt \; \left(\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \right ) K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \\ = \int dx dt \; \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) V(x,t)\psi(xt)=V(x_ft_f) \psi(x_ft_f), \end{equation}$ so erhalten Sie die rechte Seite von (1), d.h. Sie leiten (1) ab.

Sie können sich dafür entscheiden, rückwärts zu arbeiten, oder auch nicht.

Propagator im Pfad Integraler Quantenmechanismus als grüne Funktion der Schrödinger-Gleichung

TheoPhy

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TheoPhy

Kosmas Zachos

TheoPhy

TheoPhy

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Kosmas Zachos

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