Warum ist der Propagator die Green-Funktion für die Schrödinger-Gleichung? [Duplikat]

Question

Warum ist der Propagator die Green-Funktion für die Schrödinger-Gleichung? [Duplikat]

Physik
Verbreiter
Greens-Funktionen
Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung
Dirac-Delta-Verteilungen

William Huang

Sakurai sagt (in verschiedenen Ausgaben), dass der Propagator einfach die Greensche Funktion für die zeitabhängige Wellengleichung erfüllt

\begin{matrix} (2.5.12/2.6.12) & \begin{aligned} [- \frac{ℏ^{2}}{2 M} ▽^{″ 2} + v (X^{″}) - ich H \frac{\partial}{\partial T}] K (X^{″}, T; X^{'}, T_{0}) \\ = & - ich ℏ δ^{3} (X^{″} - X^{'}) δ (T - T_{0}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)\cr =&-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)\end{align}\tag{2.5.12/2.6.12}$

mit Randbedingung

\begin{matrix} (2.5.13/2.6.13) & K (X^{″}, T; X^{'}, T_{0}) = 0 \end{matrix}

$K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0\tag{2.5.13/2.6.13}$

für $t<t_0$

Ich habe keine Ahnung, wo die $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ Term kommt, und der Propagator muss gleich Null sein, wenn $t<t_0$ .

ACuriousMind

... und Ihre Frage ist? Berechnen Sie einfach den Propagator und stecken Sie ihn dort ein, Sie werden sehen, dass er die Gleichung tatsächlich erfüllt (wenn Sie die Ableitungen nehmen, die die Verteilungen auf die richtige Weise ergeben sollen).

William Huang

Ich habe den Propagator berechnet und in die Gleichung eingesetzt, aber das Ergebnis war 0, nicht

- i ℏ δ^{3} (x^{″} - x^{'}) δ (t - t_{0})

$-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .

ACuriousMind

Ja, das ist eine häufige Verwirrung. Wissen Sie, wie die

δ

$\delta$ kommt für andere Green-Funktionen heraus? Wie die fundamentale Lösung/Greensche Funktion das Delta und nicht Null ergibt, ist wirklich eher eine mathematische als eine physikalische Frage

William Huang

Ich weiß, dass ein linearer Differentialoperator gegeben ist

L

$\mathfrak{L}$ , eine Greensche Funktion

G (x, s)

$G(x,s)$ ist irgendeine Lösung von

L G (x, s) = δ (x - s)

$\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Aber ich kenne immer noch nicht die Beziehung zwischen dem Propagator und der Green-Funktion.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/20797/2451 , physical.stackexchange.com/q/22639/2451 , physical.stackexchange.com/q/65489/2451 und Links darin.

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Warum ist der Propagator die Green-Funktion für die Schrödinger-Gleichung? [Duplikat]

... und Ihre Frage ist? Berechnen Sie einfach den Propagator und stecken Sie ihn dort ein, Sie werden sehen, dass er die Gleichung tatsächlich erfüllt (wenn Sie die Ableitungen nehmen, die die Verteilungen auf die richtige Weise ergeben sollen).
Ich habe den Propagator berechnet und in die Gleichung eingesetzt, aber das Ergebnis war 0, nicht $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .
Ja, das ist eine häufige Verwirrung. Wissen Sie, wie die $\delta$ kommt für andere Green-Funktionen heraus? Wie die fundamentale Lösung/Greensche Funktion das Delta und nicht Null ergibt, ist wirklich eher eine mathematische als eine physikalische Frage
Ich weiß, dass ein linearer Differentialoperator gegeben ist $\mathfrak{L}$ , eine Greensche Funktion $G(x,s)$ ist irgendeine Lösung von $\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Aber ich kenne immer noch nicht die Beziehung zwischen dem Propagator und der Green-Funktion.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/20797/2451 , physical.stackexchange.com/q/22639/2451 , physical.stackexchange.com/q/65489/2451 und Links darin.

Frobenius · Answer 1

Hinweis: Prüfen Sie, ob diese „modifizierte“ Schrödinger-Gleichung durch den „modifizierten“ Propagator erfüllt wird

\begin{matrix} (01) & \tilde{K} (X^{″}, T; X^{'}, T_{0}) = θ (T - T_{0}) K (X^{″}, T; X^{'}, T_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \widetilde{K}(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0})=\theta(t-t_{0})\;K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0) \tag{01} \end{equation}$ Wo

θ (t - t_{0})

$\;\theta(t-t_{0})\;$ die Einheitsschrittfunktion mit Eigenschaft

\begin{matrix} (02) & \frac{\partial θ (T - T_{0})}{\partial T} = \frac{D θ (T - T_{0})}{D T} = δ (T - T_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \theta (t-t_{0}) }{\partial t}=\dfrac{d \theta (t-t_{0}) }{d t}=\delta (t-t_{0}) \tag{02} \end{equation}$

Beachten Sie, dass

\begin{matrix} (03) & \frac{\partial \tilde{K}}{\partial T} = \frac{\partial (θ K)}{\partial T} = θ \frac{\partial K}{\partial T} + K \frac{\partial θ}{\partial T} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t} \tag{03} \end{equation}$ Und^{$\begin{matrix} (04) & K \frac{\partial θ}{\partial T} = K (X^{″}, T; X^{'}, T_{0}) δ (T - T_{0}) = K (X^{″}, T_{0}; X^{'}, T_{0}) δ (T - T_{0}) = δ^{3} (X^{″} - X^{'}) δ (T - T_{0}) \end{matrix}$ $\begin{equation} K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0}) \tag{04} \end{equation}$}

Aber wo tut $\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})$ komme aus?
@ William Huang $\dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}$ $K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0})$
Damit ist der "unmodifizierte" Verbreiter zufrieden $\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0$ ? Und der "unmodifizierte" Propagator darf nicht gleich 0 sein, wenn $t<t_0$ ?
Ja. Siehe Related , und überprüfen Sie die elementaren expliziten Beispiele.

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