freie Partikeldiffusion Grüne Funktion

Das Problem ist, dass Sie einen Positionseigenzustand als Anfangszustand verwenden. Wenn Sie einen Zustand mit endlich einstellbarer Breite verwenden, können Sie sehen, was passiert. Beispiele zum Ausprobieren:

$$\begin{align} \Psi(\mathbf{x},0) & = \frac{1}{\left(s \sqrt{2\pi}\right)^{d/2}} \operatorname{e}^{-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2 }{ 4s^2} + i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \ \mathrm{or}\\ & = \prod_{n=1}^d \frac{2 \sin\left(\frac{k_w (x_n-x_0)}{2}\right)}{k_w (x_n-x_0)} \operatorname{e}^{i k_n (x_n- x_0)}\sqrt{\frac{k_w}{2\pi}}, \end{align}$$ Wo $d$ist die Anzahl der räumlichen Dimensionen. Die Impulsraumversionen (Fourier-Transformationen) davon sind: $$\begin{align}\Psi(\mathbf{p},0) & = \left(s\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^{d/2}\operatorname{e}^{i \frac{(\hbar \mathbf{k} - \mathbf{p})\cdot\mathbf{x}_0}{\hbar} - \frac{s^2}{\hbar^2} \left(\mathbf{p} - \hbar\mathbf{k}\right)^2},\ \mathrm{and} \\ & = \prod_{n=1}^d \frac{\operatorname{e}^{-ik_n x_0}}{\sqrt{\hbar k_w}} \Theta\left(\frac{p_n}{\hbar} - k_n + \frac{k_w}{2}\right) \Theta\left(k_n + \frac{k_w}{2} - \frac{p_n}{\hbar}\right).\end{align}$$ Beachten Sie, wie die $\mathbf{x}$-Abstandsbreiten gehen zu $0$( $s\rightarrow 0$oder $k_w \rightarrow \infty$) Die $\mathbf{p}$-Abstandsbreiten verhalten sich umgekehrt. Der Grund, warum Sie einen nicht normalisierbaren und flachen Zustand erhalten, liegt also nicht nur daran $\delta$Funktionen nicht quadratisch integrierbar sind, sondern auch, weil die Impulswellenfunktion gleiche Wahrscheinlichkeiten für alle Impulse hat, einschließlich unendlich. Es ist also keine Überraschung, wenn der Zustand sofort in einen übergeht, der an allen Positionen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.