Propagator in normalen Modi

Question

Propagator in normalen Modi

Physik
Verbreiter
Normal-Modi
Wellenfunktion
Zeitentwicklung
Quantenmechanik

Reschad

Ich begann mit dem Hamilton-Operator gekoppelter Oszillatoren in einem kreisförmigen Gitter (mit $m=\hbar=1$ Und $x_{a+N}=x_{a}$ )

H = \frac{1}{2} \sum_{A = 0}^{N - 1} [P_{A}^{2} + ω^{2} X_{A}^{2} + Ω^{2} (X_{A} - A_{A + 1})]

$H=\frac{1}{2}\sum_{a=0}^{N-1}\left[p_a^2+\omega^2 x_a^2+\Omega^2\left(x_a-a_{a+1}\right)\right]$ Dann habe ich die Normal-Modi verwendet

{\tilde{X}}_{k} \equiv \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{A = 0}^{N - 1} \exp (- \frac{2 π ich k}{N} A) X_{A} {\tilde{P}}_{k} \equiv \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{A = 0}^{N - 1} \exp (\frac{2 π ich k}{N} A) P_{k}

$\tilde{x}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(-\frac{2\pi i k}{N}a\right)x_a\quad \tilde{p}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi ik}{N}a\right)p_k$ um die Oszillatoren zu 'entkoppeln':

H = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N - 1} (| \tilde{P_{k}} |^{2} + {\tilde{ω_{k}}}^{2} | \tilde{X_{k}} |^{2})

$H=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}\left(|\tilde{p_k}|^2+\tilde{\omega_k}^2 |\tilde{x_k}|^2 \right)$ Wo

{\tilde{ω}}_{k} = ω^{2} + 4 Ω^{2} {Sünde}^{2} (\frac{π k}{N})

$\tilde{\omega}_k=\omega^2+4\Omega^2\sin^2\left(\frac{\pi k}{N}\right)$ In Bezug auf die Normalmoden ist die Wellenfunktion

ψ_{0} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .) = \prod_{k = 0}^{N - 1} {(\frac{{\tilde{ω}}_{k}}{π})}^{\frac{1}{4}} \exp (- \frac{1}{2} {\tilde{ω}}_{k} | {\tilde{X}}_{k} |^{2})

$\psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\tilde{\omega}_k}{\pi}\right)^\frac{1}{4}\exp\left(-\frac{1}{2}\tilde{\omega}_k|\tilde{x}_k|^2\right)$ Nun möchte ich diesen Zustand zeitlich entwickeln, indem ich das Produkt von Propagatoren freier Oszillatoren verwende. Wenn

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ wären echt, dann würde ich mit dem propagator so verfahren

K ({\tilde{X}}_{0}, {\tilde{X}}_{1}, . .; {\tilde{X}}_{0}^{'}, {\tilde{X}}_{1}^{'}; T) = \prod_{k = 0}^{N - 1} \sqrt{\frac{{\tilde{ω}}_{k}}{2 π ich Sünde ({\tilde{ω}}_{k} T)}} \exp [\frac{ich {\tilde{ω}}_{k}}{2 Sünde ({\tilde{ω}}_{k} T)} {({\tilde{X_{k}}}^{2} + {\tilde{X_{k}}}^{' 2}) \cos ({\tilde{ω}}_{k} T) - 2 {\tilde{X}}_{k} {\tilde{X}}_{k}^{'}}]

$K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1;t\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\sqrt{\frac{\tilde{\omega}_k}{2\pi i \sin\left(\tilde{\omega}_k t\right)}}\exp\left[\frac{i\tilde{\omega}_k}{2 \sin\left(\tilde{\omega}_kt\right)}\{\left(\tilde{x_k}^2+\tilde{x_k}'^2\right)\cos\left(\tilde{\omega}_kt\right)-2\tilde{x}_k\tilde{x}'_k\}\right]$ Und ich würde den Zustand mit der Zeit weiterentwickeln

ψ_{0}

$\psi_0$ als

ψ_{1} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .; T) = \int D {\tilde{X}}_{0}^{'} D {\tilde{X}}_{1}^{'} . . K ({\tilde{X}}_{0}, {\tilde{X}}_{1}, . .; {\tilde{X}}_{0}^{'}, {\tilde{X}}_{1}^{'} . . .; T) ψ_{0} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .)

$\psi_1 \left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..;t\right) =\int d\tilde{x}'_0 d\tilde{x}'_1.. K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1...;t\right) \psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)$ Wie kann ich den Verbreiter finden, wenn er das weiß?

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ ist nicht echt und findet dann den zeitentwickelten zustand?

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Propagator in normalen Modi

Daniel · Answer 1

Dies ist eine Frage zum Ändern von Variablen. Im Prinzip wissen Sie, wie man das letzte Integral in Bezug auf einen Satz von Variablen auswertet, die $x_a$ . Es wäre jedoch einfacher, es in Bezug auf die zu bewerten $\tilde{x}_k$ .

Das ursprüngliche Integral ist beendet $x_a \in \mathbb{R}^N$ , also müssen Sie die entsprechende Region von (komplex) herausfinden $\tilde{x}_k$ -Raum. Eine Fourier-Transformationseigenschaft ist praktisch: Die $x_a$ sind real, wenn und nur wenn $\tilde{x}_{-k} = \tilde{x}_{k}^*$ . Wir können also nur für nichtnegative Werte von über die gesamte komplexe Ebene integrieren $k$ . `

Wir müssen auch den Jacobi der Transformation einbeziehen. Die diskrete Fourier-Transformation ist einheitlich mit der von Ihnen gewählten Normalisierung, daher ist die Jacobi-Transformation gerecht $1$ .

Propagator in normalen Modi

Reschad

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Daniel

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