Was entwickelt sich mit der Zeit?

In Griffiths wird uns gesagt, dass die Expansionskoeffizienten der stationären Zustände einfach komplexe Zahlen sind:

Ψ ( X ,   T )   =   ∑ N C N e − ich E T / ℏ ψ N ( X )

Woher wissen wir, dass sie nicht von der Zeit abhängen? Wäre es nicht sinnvoll, dass sie von der Zeit abhängen, wie

⟨ E N | Ψ ( T ) ⟩   =   C N ,
und der Zustandsvektor selbst ändert sich mit der Zeit?

Ich denke, die Wurzel meiner Frage ist: Was ändert sich in Bezug auf die Zeit, die Wellenfunktion im stationären Zustand oder die C N , wo wir die Zeitabhängigkeit als Teil des Koeffizienten behandeln?

Antworten (2)

Dies ist bereits berücksichtigt. Im Allgemeinen haben wir

Ψ ( X ,   T )   =   ∑ N B N ( T ) ψ N ( X )
wo die Ausdehnungskoeffizienten zeitlich variieren. Was Griffiths gezeigt hat, ist, dass wenn die ψ N ( X ) Energieeigenzustände sind, dann kann die Zeitentwicklung geschrieben werden als
B N ( T ) = C N e − ich E N T / ℏ
Wo C N ist eine Konstante. Dies ergibt die Gleichung, die Sie geschrieben haben.

Ja, das macht Sinn, außer dass Griffiths die Zeitabhängigkeit als zeitabhängige Komponente der stationären Zustandswellenfunktionen auflöst und dann nur sagt: "Wir können lineare Kombinationen dieser stationären Zustände mit komplexen Koeffizienten erstellen". Woher wissen wir, dass es keine andere Zeitabhängigkeit gibt, wenn wir die einführen? C N Koeffizienten?
Oh, eigentlich glaube ich, ich verstehe jetzt, B N ( T ) ist selbst die vollständige zeitabhängige Komponente jeder der stationären Zustandswellenfunktionen.
Jede zusätzliche Zeitabhängigkeit würde die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung verletzen.

Der e − ich E N T / ℏ gibt die zeitliche Entwicklung dieser Überlagerung an. Beachten Sie, dass die Energie einen Index haben sollte; im Allgemeinen kann es für jeden stationären Zustand unterschiedlich sein.

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