Behandlung der Schrödinger-Gleichung als gewöhnliche Differentialgleichung

Wie genau kann ich die Gleichung in dieser Form interpretieren?

Um auch im allgemeinen Fall eine Lösungstheorie zu entwickeln, interpretiert man die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

ich D D T ψ ( T ) = H ψ ( T )
als gewöhnliche Differentialgleichung für die vektorwertige Funktion ψ : R T → H := L 2 ( R N D ) . Allerdings seit H ist kein beschränkter linearer Operator on H , erweist sich diese Theorie als viel subtiler als die Theorie der linearen ODEs auf endlichdimensionalen Räumen. Diese Überlegungen führen uns zum Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren auf Hilbert-Räumen, einem der zentralen mathematischen Ergebnisse, die in diesem Kurs diskutiert werden.

Also behandeln wir ψ als Kurve hinein N D -dimensionalen Raum, wodurch eine Lösung für erhalten wird ψ ( T ) , aber wie könnten wir die ganze Positionsabhängigkeit ignorieren?

Was ist N und was ist D ? Beachten Sie auch, dass die Schrödinger-Gleichung nicht unbedingt die Position beinhaltet, sondern normalerweise nur von der Positionsbasis aus betrachtet wird, und das ist es, was wir am häufigsten sehen.
N die Anzahl der Teilchen, D die Dimension des Raumes
Ich verstehe das nicht sehr gut, meiner Intuition nach sollte die Wellenfunktion von der Position abhängen, also weiß ich nicht. Gibt es vielleicht eine Referenz, die ich lesen kann?
@khaled014z Die Positions-Raum- Wellenfunktion hängt von der Position ab, aber zB die Impuls-Raum- Wellenfunktion nicht.

Antworten (1)

ψ ist eine Kurve durch H := L 2 ( R N D ) , nicht durch R N D selbst. Das heißt für jeden T ∈ R wir haben das ψ ( T ) ∈ L 2 ( R N D ) ist locker ‡ eine quadratintegrierbare Funktion.

Sie müssen sorgfältig unterscheiden ψ , was eine Kurve durch ist H , Und ψ ( T ) , das ist das Element von H die Kurve geht zur Zeit durch T . ψ ist eine Funktion einer Variablen , die eine Zeit isst T und spuckt den Vektor aus ψ ( T ) , die selbst eine quadratintegrierbare Funktion ist. Es würde keinen Sinn machen für ψ selbst eine Position als Input zu akzeptieren - was würde das überhaupt bedeuten? Stattdessen ist es ψ ( T ) - die oft als Funktion des Ortes interpretiert wird (zB die Orts-Raum-Wellenfunktion) - die als Eingangsvariable den Ort annehmen kann.

Um dies deutlich zu machen, könnten wir die Notation like verwenden [ ψ ( T ) ] ( X ) , was das deutlich macht T ∈ R ist eine Zahl, in die wir einstecken ψ um eine Funktion zu bekommen ψ ( T ) ∈ L 2 ( R N D ) , Und X ∈ R N D ist ein Vektor, in den wir einstecken ψ ( T ) um eine Nummer zu bekommen [ ψ ( T ) ] ( X ) ∈ C . Diese Notation ist der Stoff für Alpträume, daher bevorzuge ich persönlich das Symbol ψ T ( X ) stattdessen.

In den meisten pädagogischen Fachbüchern neigen Autoren dazu, diese Diskussion unter den Teppich zu kehren und einfach zu schreiben ψ ( T , X ) ; Meiner Ansicht nach verwischt dies jedoch die Unterscheidung zwischen Raum und Zeit, die in der nichtrelativistischen Quantenmechanik vorkommt, und führt zu tiefen Missverständnissen .

Wenn wir die Schrödinger-Gleichung aufschreiben, müssen wir die Terme sorgfältig interpretieren. In meiner bevorzugten Schreibweise:

  • ψ ist eine vektorwertige Funktion einer Variablen , und ψ ' ist seine vektorwertige Ableitung
  • ψ T Und ψ T ' sind die Vektoren in H die sich aus der Auswertung ergeben ψ Und ψ ' zum Zeitpunkt T
  • H ist ein linearer Operator, der einen Vektor frisst und einen anderen Vektor ausspuckt

⟶ ich ℏ ψ T ' = H ( ψ T )

‡ Wirklich eine Äquivalenzklasse von Funktionen, in der wir zwei Funktionen identifizieren F Und G als das gleiche Element von L 2 ( R N D ) Wenn ∫ D N D X | F ( X ) − G ( X ) | 2 = 0 .

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