Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichungen

Ich versuche, die Beziehung zwischen den zeitabhängigen und zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichungen zu verstehen . Insbesondere wissen wir, dass die TDSE ist

H Ψ = ich ℏ ∂ Ψ ∂ T
während die unabhängige Gleichung das Eigenwertproblem ist
H ψ = E ψ
Meine Hauptfrage lautet: Wenn wir es zulassen Ψ um unabhängig von der Zeit zu sein (was meine Interpretation einer 'zeitunabhängigen Gleichung' ist), warum bekommen wir dann nicht einfach H Ψ = 0 ? Ich kann sehen, woher das Eigenwertproblem kommt: Angenommen, wir hätten eine trennbare Lösung für den TDSE Ψ ( X , T ) = ψ ( X ) T ( T ) . Dann,
T H ψ = ich ℏ T ˙ ψ ⟹ ich ℏ T ˙ T = H ψ ψ = E
Für einige konstant E , also bekommen wir T ( T ) = A e − ich E T / ℏ Und H ψ = E ψ .

Das ist interessant, beantwortet aber meine Frage nicht ganz: Warum funktioniert das Argument so? H ψ = 0 nicht funktionieren, und was ist mit Lösungen, die nicht trennbar sind?

Warum soll H ψ gleich Null sein? Meinten Sie H Ψ = 0 ?
Nun ja, aber was ich damit meine, ist "warum nicht davon ausgehen Ψ ( X , T ) = ψ ( X ) unabhängig von der Zeit ist, ergibt sich die zeitunabhängige Gleichung H ψ = 0 ?"
Warum kann dem räumlich abhängigen Operator kein Eigenwert ungleich Null zugeordnet werden?
Natürlich kann es das , aber ich sehe nicht, wie in dieser Situation Eigenwerte ungleich Null entstehen würden. Dh das zeitabhängige SE unabhängig von der Zeit zu machen scheint nicht das zeitunabhängige SE zu geben (das Eigenwertproblem).
Denken Sie linear algebraisch : A v = λ v ist das allgemeine Eigenwertproblem, nein? Im QM, A ≡ H , ψ ≡ v und somit, E ≡ λ was für bestimmte Fälle Null wäre und nicht die allgemeine Lösung.

Antworten (2)

Das "unabhängig" in "zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung" bedeutet nicht, dass die Wellenfunktion ψ ( X , T ) unabhängig von der Zeit ist, aber dass sich der Quantenzustand, den es definiert, nicht mit der Zeit ändert.

Seit ψ ( X ) Und e ich ϕ ψ ( X ) für alle ϕ ∈ R denselben Quantenzustand definieren, bedeutet dies nicht ∂ T ψ ( X , T ) = 0 . Allerdings, wie die Lösung zeigt, die Zeitabhängigkeit e ich E T ist genau die Art von Abhängigkeit, die erlaubt ist.

Um zu verstehen, was vor sich geht, müssen Sie eine Definition von einer Gleichung unterscheiden.

Als Beispiel könnte man die Wärmegleichung betrachten ∂ X X u = k ∂ T u . Beide Seiten haben ihre eigene Bedeutung, und die Gleichung besagt, dass für die Lösung der Wärmegleichung die beiden Dinge gleich sind. Sie müssen zuerst in der Lage sein, die linke Seite (zweite Ableitung) und die rechte Seite (einfache Ableitung) zu berechnen, und dann wird alles, was nicht gleich ist (und es gibt viele solcher Funktionen), einfach weggeworfen nicht die Lösungen sind, nach denen Sie suchen.

Also insbesondere der Hamiltonian (wie ∂ X X ) ist eine eigene Sache und wird nicht durch die Schrödinger-Gleichung definiert, sondern liefert nur die linke Seite.

Also beim Schreiben

H Ψ = ich ℏ ∂ Ψ ∂ T
Die linke Seite hat eine Bedeutung, und die Bedeutung besteht nicht darin, eine einzige Zeitableitung zu nehmen. Seine Bedeutung besteht darin, mehrere räumliche Ableitungen zu nehmen und einige andere Dinge zu tun.

Wenn Sie eine zeitunabhängige Lösung ungleich Null genommen haben H ψ = E ψ mit Nicht-Null-Energie E dann würdest du das sofort merken H ψ = E ψ ≠ 0 = ich ℏ ∂ T ψ was bedeutet, dass die Funktion einfach keine Lösung der zeitabhängigen Gleichung ist.

Genauso wie die meisten Funktionen keine Lösung der Wärmegleichung sind.

wenn wir es zulassen Ψ um unabhängig von der Zeit zu sein (was meine Interpretation einer 'zeitunabhängigen Gleichung' ist), warum bekommen wir dann nicht einfach H Ψ = 0 ?

Das ist nicht, was eine zeitunabhängige Gleichung bedeutet. Das sucht nach einem Gleichgewicht oder stationären Zustand. Gehen Sie wieder zurück zur Wärmegleichung. Das heißt, die zeitabhängige Gleichung zu verwenden, um nach bestimmten Lösungen für die zeitabhängige Gleichung zu suchen, die zufällig zeitunabhängig sind. Das tun wir nicht. Wir machen eine andere Gleichung.

Das verlangen wir nicht ψ sei unabhängig von der Zeit und sei eine Lösung für H ψ = ich ℏ ∂ T ψ . Wir verlangen, dass es zeitunabhängig ist und eine Lösung für eine völlig neue und andere Gleichung, H ψ = E ψ .

Warum? Denn dann kannst du die trennbaren Gleichungen so lösen, wie du es beschreibst, indem du eine besonders einfache Zeitabhängigkeit einsetzt.

Was ist mit Lösungen, die nicht trennbar sind?

Wenn Sie Ihre Anfangsbedingungen nehmen, können Sie ist als (lineare) Kombination von Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung schreiben. Wenn Sie dann die entsprechende (lineare) Kombination von trennbaren Lösungen schreiben, erhalten Sie eine Lösung für die zeitabhängige Gleichung, die Ihren Anfangsbedingungen entspricht.

Und oft ist das alles, was Sie wirklich wollen. Und Sie könnten dasselbe mit der Wärmegleichung machen.

Ich glaube nicht, dass das meine Frage beantwortet, ich versuche es zu erklären: Ich verstehe, dass wir zwei Gleichungen haben, die zeitunabhängige SE und die zeitabhängige (ich nenne sie der Kürze halber TISE und TDSE). Mein Punkt ist, dass wir in der Lage sein sollten, die TISE wiederherzustellen, indem wir alle zeitlichen Abhängigkeiten aus der TDSE entfernen. Aber wenn wir das tatsächlich tun, bekommen wir die Gleichung H ψ = 0 , eher als die TISE H ψ = E ψ das wir erwarten würden.
Um Ihre Analogie mit der Wärmegleichung fortzusetzen, es wäre wie ein Anruf ∇ 2 u = k u ˙ die "zeitabhängige Wärmegleichung". Dann würden wir im stationären Zustand die zeitunabhängige Gleichung erhalten ∇ 2 u = 0 . Wir würden es nicht bekommen ∇ 2 u = λ u , was in diesem Fall zu geschehen scheint.
@DanielLittlewood Wenn Ihre Frage die ganze Zeit über Terminologie war, dann hat ACuriousMind Ihre Frage beantwortet. Aber Sie hätten die Tag-Terminologie oder das Soft-Frage-Tag verwenden oder das sagen sollen. Sie erhalten keine zeitunabhängige Gleichung , indem Sie versuchen, die ursprüngliche Gleichung nach zeitunabhängigen Lösungen zu lösen . Es ist eine andere Gleichung. Seine Lösungen können verwendet werden, um Lösungen für die komplexere Gleichung zu finden. Und die komplexere Gleichung kann so interpretiert werden, dass sie Ihnen sagt, wie sich Wellen aus gegebenen Anfangsbedingungen mit der Zeit entwickeln, und die Lösungen für die TISE entwickeln sich auf die einfachste Weise.
Fairer Punkt, tut mir leid, dass ich das Tag nicht aufgenommen habe.
Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichungen
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