Zeitentwicklung eines Wellenpakets

Question

Jimmy360

Ich verstehe nicht, warum, wenn $H\psi = E\psi$ , dann ist die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion gegeben durch $e^{-iEt/h}\psi(x)$ .

Diese Formel für die Zeitabhängigkeit gilt nur für Eigenzustände und nur für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren.

Diese Formel für die Zeitabhängigkeit gilt nur für Eigenzustände und nur für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren.

danielsmw · Answer 1

Die Gleichung, die Sie angegeben haben, ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist

ich ℏ \dot{ψ} = H ψ

$i \hbar \dot{\psi} = H \psi$ die Sie leicht lösen können, um die Zeitabhängigkeit zu erhalten (wann

ψ

$\psi$ ist ein Eigenzustand), nach dem Sie in der Frage gefragt haben. Allgemeiner gesagt, können Sie es lösen, um das zu zeigen

\exp (- i \hat{H} t / ℏ)

$\exp\left(-i\hat{H}t/\hbar\right)$ ist der Generator der Zeitentwicklung, dh der Operator, der dauert

ψ (t = 0) \mapsto ψ (t)

$\psi(t=0)\mapsto\psi(t)$ .

eine Frage · Answer 2

Das Lösen von zeitabhängigem SE wie oben erwähnt, ist ein guter Ausgangspunkt.

ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} = H ψ

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi$

\frac{D ψ}{ψ} = \frac{H}{ich ℏ} D T

$\frac{d\psi}{\psi}=\frac{H}{i\hbar}dt$

l Ö G (ψ) ∣_{ψ_{0}}^{ψ} = - \frac{ich H T}{ℏ} ∣_{T_{0}}^{T}

$log(\psi)\mid^{\psi}_{\psi_{0}}=-\frac{iHt}{\hbar}\mid^{t}_{t_0}$ vermuten

ψ = | α, t >

$\psi=|\alpha,t>$ Und

ψ_{0} = | α, t_{0} >

$\psi_{0}=|\alpha, t_{0}>$

ψ = e^{- \frac{ich H (T - T_{0})}{ℏ}} ψ_{0}

$\psi=e^{-\frac{iH(t-t_{0})}{\hbar}}\psi_0$ Unter infinitesimalen Zeitänderungen (dt), Zeitentwicklungsoperator,

l ich M_{D T \to 0} U (T_{0} + D T, T_{0}) = 1

$lim_{dt\to 0}U(t_{0}+dt, t_{0})=1$

U (T_{0} + D T, T_{0}) = 1 - ich G D T

$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-iGdt$ für

G = \frac{H}{ℏ}

$G=\frac{H}{\hbar}$ ,

U (T_{0} + D T, T_{0}) = 1 - ich \frac{H}{ℏ} D T \sim e X P (- ich \frac{H}{ℏ} D T)

$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-i\frac{H}{\hbar}dt \sim exp(-i\frac{H}{\hbar}dt )$ Als gute Anleitung empfehle ich JJSakurai Kapitel 2.