Beziehung zwischen Dyson-Gleichungen aus verschiedenen Problemen

Question

Beziehung zwischen Dyson-Gleichungen aus verschiedenen Problemen

Physik
Verbreiter
Greens-Funktionen
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie

Entdeckung

Kürzlich bemerkte ich, dass die Dyson-Gleichung

G = G_{0} + G_{0} Σ G

$G=G_0+G_0\Sigma G$ wird nicht nur in der Quantenfeldtheorie, sondern auch in einigen anderen Zweigen der Physik verwendet. Zum Beispiel:

1. Wellengleichung

Aus der Wellengleichung in einem zufälligen Medium

L G (X, X_{0}) \equiv [Δ_{X} + k^{2} (1 + ϵ (X))] G (X, X_{0}) = δ (X - X_{0})

$\mathcal{L}G(x,x_0)\equiv \left[\Delta_x+k^2 (1+\epsilon(x))\right]G(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ Und

L_{0} G_{0} (X, X_{0}) \equiv [Δ_{X} + k^{2}] G_{0} (X, X_{0}) = δ (X - X_{0})

$\mathcal{L}_0G_0(x,x_0)\equiv\left[\Delta_x+k^2 \right]G_0(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ , wir bekommen

L_{0} G (X, X_{0}) = - k^{2} ϵ (X) G (X, X_{0}) + δ (X - X_{0})

$\mathcal{L}_0G(x,x_0)=-k^2\epsilon(x)G(x,x_0)+\delta(x-x_0)$

G (X, X_{0}) = \int D X_{1} G_{0} (X, X_{1}) L_{0} G (X_{1}, X_{0}) = G_{0} (X, X_{0}) - \int D X_{1} G_{0} (X, X_{1}) k^{2} ϵ (X_{1}) G (X_{1}, X_{0})

$G(x,x_0)=\int dx_1\,\,G_0(x,x_1)\mathcal{L}_0G(x_1,x_0)=G_0(x,x_0)-\int dx_1\,G_0(x,x_1)k^2\epsilon(x_1)G(x_1,x_0)$ , die offensichtlich die Form der Dyson-Gleichung hat.

2. Einzelteilchenpropagator - 1

Lassen $U(t,t_0)$ sei der Zeitentwicklungsoperator. Der Einzelteilchenpropagator

K (X T; X^{'} T^{'}) = ⟨ X | U (T, T_{0}) | X^{'} ⟩

$K(xt;x't')=\langle x|U(t,t_0)|x'\rangle$ erfüllt die folgenden Gleichungen:

[ich ℏ \partial_{T} - H] K (X T; X^{'} T^{'}) = δ (X - X^{'}) δ (T - T^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}\right]K(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$

[ich ℏ \partial_{T} - H_{0}] K_{0} (X T; X^{'} T^{'}) = δ (X - X^{'}) δ (T - T^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right]K_0(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$ Wo

H = H_{0} + V

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_0+V$ . Diese Gleichungen sind mathematisch identisch mit den obigen Wellengleichungen, dh

G \leftrightarrow K, - k^{2} ϵ \leftrightarrow V

$G\leftrightarrow K,\,-k^2\epsilon\leftrightarrow V$ .

3. Einzelteilchenpropagator - 2

Verwenden Sie die Dyson-Serie für $U$ in der Interaktionsdarstellung,

U = 1 + \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N!} {(- \frac{ich}{ℏ})}^{N} \int \int \dots T [v (τ_{1}) \dots v (τ_{N})]

$U=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n\int\int\cdots \mathcal{T}\left[V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right]$ , können wir auch die Dyson-Gleichung erhalten; Genau genommen können wir die Dyson-Erweiterung von erhalten

K

$K$ wenn wir die Dyson-Gleichung iterativ erweitern:

K = K_{0} + K_{0} \sum (K_{0} + K_{0} \sum (\dots))

$K=K_0+K_0\sum(K_0+K_0\sum(\cdots))$ .

4. Grüne Funktion in der Physik der kondensierten Materie

Bei Nulltemperatur ist die lässige Green-Funktion

ich G_{a a^{'}} = \frac{⟨ ψ_{0} | T U (\infty, - \infty) Ψ_{a} (X, T) Ψ_{a^{'}}^{†} (X^{'}, T^{'}) | ψ_{0} ⟩}{⟨ ψ_{0} | U (\infty, - \infty) | ψ_{0} ⟩}

$iG_{\alpha \alpha'}=\frac{\langle \psi_0|\mathcal{T}U(\infty,-\infty) \Psi_{\alpha}(x,t)\Psi_{\alpha'}^{\dagger}(x',t')|\psi_0 \rangle}{\langle \psi_0 |U(\infty,-\infty)|\psi_0 \rangle }$ und es ist auf mathematische Weise keine Green-Funktion, dh

[i ℏ \partial_{t} - H_{0}] i G_{α α^{'}} \neq δ

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right] iG_{\alpha \alpha'} \neq \delta$ . In der Tat, die ungestörte grüne Funktion

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ ist eine mathematische Green-Funktion. Verwenden Sie die Dyson-Erweiterung für

U

$U$ im Wechselwirkungsbild und im Satz von Wick können wir ausdrücken

i G_{α α^{'}}

$iG_{\alpha \alpha'}$ bezüglich

V

$V$ Und

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ . Es ist bekannt, dass ein solcher Ausdruck die Dyson-Gleichung erfüllt:

G = G_{0} + G_{0} \sum (G_{0} + G_{0} \sum (\dots))

$G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ .

Frage

Offensichtlich sind Fall 1 und Fall 2 eng miteinander verwandt. Die Fälle 3 und 4 sind ebenfalls verbunden. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob es eine mathematische Erklärung dafür gibt, warum die Dyson-Entwicklung (Fall 3 & 4) zu dem Ergebnis führt, das mit der einfachen Algebra (Fall 1 & 2) identisch ist.

Ich denke, dass die Dyson-Erweiterung nicht die Dyson-Gleichung selbst hervorbringt $G=G_0+G_0\Sigma G$ aber seine iterative Version $G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ wäre ein Anhaltspunkt; aber bis jetzt bin ich noch nicht weiter gekommen.

Antworten (1)

Beziehung zwischen Dyson-Gleichungen aus verschiedenen Problemen

SuperCiocia · Answer 1

Greensche Funktionen und Beispiel 1

Zunächst einmal verwenden Sie das Symbol $G$ Und $K$ in 1 & 2 für Greensche Funktionen .

Definieren wir also zunächst eine Green-Funktion als $G(t,u)$ wie zum Beispiel:

L G (T, u) = δ (T - u),

$\mathcal{L}\,G(t,u) = \delta(t-u),$ Wo

L

$\mathcal{L}$ ist ein linearer Differentialoperator, der die Entwicklung des Systems bestimmt.

Die Green-Funktion wird beim Lösen der Dynamik verwendet $x(t)$ durch eine Quelle verursacht $f(u)$ indem man darüber integriert:

L X (T) = \int D u L G (T, u) F (u) = \int D u δ (T - u) F (u) = F (T) .

$\mathcal{L}\,x(t) = \int \mathrm{d}u\,\mathcal{L}\,G(t,u)\, f(u) = \int \mathrm{d}u \ \delta(t-u)f(u) = f(t).$

Diese sind in der klassischen Physik weit verbreitet, wie in Beispiel 1.

Beispiel 2 & Quantenmechanik

Die Quantenmechanik (erste Quantisierung) wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben, also nur durch einen linearen Differentialoperator $\mathcal{L}$ wie oben. Analog hat man dann:

ϕ (X, T_{X}) = \int D j G^{+} (X, T_{X}, j, T_{j}) ϕ (j, T_{j}),

$\phi(x,t_x) = \int \mathrm{d}y\, G^+(x,t_x,y,t_y) \phi(y,t_y),$

wo die Funktion des Grüns $G^+$ breitet sich das Teilchen aus, beschrieben durch eine Wellenfunktion $\phi$ , von der Position $y$ und Zeit $t_y$ zu einer Stelle $x$ zum Zeitpunkt $t_x$ . Der $+$ Zeichen ist, Partikel daran zu hindern, in der Zeit zurückzureisen, so technisch gesehen $G^+ = \theta(t_x-t_y)G$ ist die verzögerte Green-Funktion.

Daher die Verbindung zwischen einer Greenschen Funktion und einem Propagator in der Quantenmechanik. Im Allgemeinen der Vermehrer $G^+$ kann geschrieben werden:

G^{+} (X, T_{X}, j, T_{j}) = θ (T_{X} - T_{j}) ⟨ X (T_{X}) | j (T_{j}) ⟩,

$G^+(x,t_x,y,t_y) = \theta(t_x-t_y)\, \langle x(t_x) | y(t_y)\rangle,$ dh die Wahrscheinlichkeitsamplitude, die ein Teilchen im Zustand hat

| y ⟩

$|y\rangle$ zum Zeitpunkt

t_{y}

$t_y$ endet ip im Zustand

| x ⟩

$|x\rangle$ zum Zeitpunkt

t_{x}

$t_x$ .

Dass der Propagator für kausal getrennte Ereignisse, also raumartig getrennte Ereignisse, ungleich Null ist, ist das Versagen der ersten Quantisierung und die Notwendigkeit einer zweiten Quantisierung (Quantenfeldtheorie)

Dysons Gleichung

Die Green-Funktion im Energiebereich kann geschrieben werden als:

G^{+} (X, j, E) = \sum_{N} \frac{ich ϕ_{N} (X) ϕ_{N}^{*} (j)}{E - E_{N}} \propto \frac{1}{E - H_{0}} .

$G^+(x,y,E) = \sum_n \frac{i\phi_n(x) \, \phi_n^\ast (y)}{E-E_n} \propto \frac{1}{E-H_0}.$

leicht zu rechtfertigen, indem man die Laplace-Gleichung für das elektrische Potential nimmt $\phi$ im Vakuum $\nabla^2\phi = 0$ . Die Lösung der Green-Funktion ist $\epsilon_0 \nabla^2V(\mathbf{r}) = - \delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$ , zu der Sie die Lösung kennen, um eine Punktladung mit zu sein $V(\mathbf{r}) = 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$

Die Funktionen von Green erlauben es uns, ein Störungsproblem als sich ausbreitendes Teilchen zu interpretieren. Eine Störung unterbricht die Ausbreitung über einen Streuprozess, woraufhin die Ausbreitung freier Teilchen wieder aufgenommen wird.

Ein generischer Hamiltonian $H = H_0 + V$ wird in seine lösbare, freie Teilchen propagierende Lösung zerlegt $H_0$ und in einer nicht analytisch lösbaren Störung $V$ .

Die Green-Funktion ist gegeben durch

G \propto \frac{1}{E - H} = \frac{1}{E - H_{0} - v},

$G \propto \frac{1}{E-H} = \frac{1}{E-H_0 -V},$ welches als vollständiger Propagator bezeichnet werden würde, um es vom freien Propagator zu unterscheiden

G_{0} \propto 1 / (E - H_{0})

$G_0 \propto 1/(E-H_0)$ .

In einem perturbativen Ansatz, wo $V \ll H_0$ , kann der obige Ausdruck geschrieben werden als:

G = \frac{1}{E - H_{0} - v} = \frac{1}{E - H_{0}} + \frac{1}{E - H_{0}} v \frac{1}{E - v_{0}} + \frac{1}{E - H_{0}} v \frac{1}{E - v_{0}} v \frac{1}{E - v_{0}} + \dots

$G = \frac{1}{E-H_0-V} = \frac{1}{E-H_0} + \frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}+\frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}V\frac{1}{E-V_0} + \dots$ oder

G = G_{0} + G_{0} v G_{0} + G_{0} v G_{0} v G_{0} + \dots

$G = G_0 + G_0 V G_0 + G_0 V G_0 V G_0 + \dots$

das ist eine geometrische Reihe, umgeschrieben als:

G = G_{0} (1 + v G_{0} + v G_{0} v G_{0} + \dots) = \frac{G_{0}}{1 - v G_{0}} = \frac{1}{G_{0}^{- 1} - v},

$G = G_0(1 + VG_0 + VG_0VG_0 + \dots) = \frac{G_0}{1-V G_0} = \frac{1}{G_0^{-1}-V},$

die als Dyson-Gleichung bekannt ist .

Beispiel 3

Die Schrödinger-Gleichung für einen generischen Hamiltonoperator $H$ Ist:

ich ℏ \frac{D}{D} | ψ_{T} ⟩ = H | ψ_{T_{0}} ⟩ .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}|\psi_t\rangle = H |\psi_{t_0}\rangle.$

⟹ | ψ_{T} ⟩ = U (T, T_{0}) | ψ_{T_{0}} ⟩,

$\implies |\psi_t\rangle = U(t,t_0) |\psi_{t_0}\rangle,$

Wo $U$ ist der Zeitentwicklungsoperator.

Im Wechselwirkungsbild wird der Hamiltonoperator in seinen freien Teil aufgeteilt $H_0$ und interagierender Teil $H'$ so dass die Zeitentwicklung des Interaktionsbildes Haimltonian ist $H_I$ wird von gegeben $H_I(t) = e^{iH_0 t/\hbar}H'e^{-iH_0t/\hbar}$ .

Der Zeitentwicklungsoperator in diesem Bild wird dann zu $U_I = e^{iH_0t/\hbar}Ue^{-iH_0t/\hbar} und erfüllt die folgende Bewegungsgleichung:

ich ℏ \frac{D}{D T} U_{ICH} = H_{ICH} U_{ICH} .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}U_I = H_I U_I.$

Die Lösung zu obigem ist:

U_{ICH} (T, T_{0}) = 1 - \frac{ich}{ℏ} \int_{T_{0}}^{T} D T^{'} H_{ICH} (T^{'}, T_{0}) U_{ICH} (T^{'}, T_{0}),

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\,U_I(t', t_0) ,$

und es kann iteriert werden, indem der Ausdruck für die eingefügt wird $U_I$ im Integral:

U_{ICH} (T, T_{0}) = 1 - \frac{ich}{ℏ} \int_{T_{0}}^{T} D T^{'} H_{ICH} (T^{'}, T_{0}) + {(- \frac{ich}{ℏ})}^{2} \int_{T_{0}}^{T} D T^{″} \int_{T_{0}}^{T} D T^{‴} H_{ICH} (T^{″}, T_{0}) H_{ICH} (T^{‴}, T_{0}) + \dots

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\ + \left (-\frac{i}{\hbar} \right )^2 \int_{t_0}^t \mathrm{d}t'' \int_{t_0}^t \mathrm{d}t''' H_I(t'', t_0)\,H_I(t''', t_0) +\dots$

Zurück gehen zu $U = e^{-iH_0t}U_Ie^{iH_0t}$ , identifizieren $G_0 = e^{iH_0t}$ Und $H_I = V$ , erhalten wir die Dyson-Gleichung gemäß dem obigen Punkt.

Somit $U$ wird auch als Dyson-Operator und die störungsbedingte Expansion als Dyson-Reihe/Expansion bezeichnet .

Der Zeitordnungsoperator $T$ sollten ebenfalls hinzugefügt werden.

Quantenfeldtheorie & Beispiel 4

Während der erste Quantisierungspropagator mit einer Greenschen Funktion identisch ist, wird der Propagator bei der zweiten Quantisierung nur analog als solcher bezeichnet.

In der Tat:

G^{+} (X, j) = θ (X^{0} - j^{0}) ⟨ Ω | \hat{ϕ} (X) {\hat{ϕ}}^{†} (j) | Ω ⟩,

$G^+(x,y) = \theta(x^0 - y^0) \langle \Omega| \hat{\phi}(x)\hat{\phi}^\dagger (y) |\Omega \rangle,$ Wo

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ ist das wechselwirkende Vakuum,

x

$x$ Und

y

$y$ sind jetzt vier Vektoren in der Raumzeit, und

\hat{ϕ^{†}} (y)

$\hat{\phi^\dagger}(y)$ ist ein Feldoperator, der ein Teilchen bei erzeugt

(y^{0}, y)

$(y^0, \mathbf{y})$ .

Ihr Ausdruck wird gerade erhalten, indem Sie die Überlappung erfordern $A$ zwischen einem eingehenden und einem ausgehenden Zustand, ausgedrückt durch die freien, nicht wechselwirkenden Zustände:

A =_{ich N T e R A C T ich N G} ⟨ Q | P ⟩_{ich N T e R A C T ich N G} =_{F R e e} ⟨ Q | S | P ⟩_{F R e e},

$A = _{\mathrm{interacting}}\langle q|p\rangle_{\mathrm{interacting}} = _{\mathrm{free}}\langle q|S|p\rangle_{\mathrm{free}},$ mit

S

$S$ die Streumatrix ist.

Die Streumatrix $S$ hängt mit dem Evolutionsoperator zusammen $U$ oben durch $S = \lim_{t\rightarrow \infty, t_0 \rightarrow -\infty} U(t,t_0)$ .

Beziehung zwischen Dyson-Gleichungen aus verschiedenen Problemen

Entdeckung

1. Wellengleichung

2. Einzelteilchenpropagator - 1

3. Einzelteilchenpropagator - 2

4. Grüne Funktion in der Physik der kondensierten Materie

Frage

Antworten (1)

SuperCiocia

Greensche Funktionen und Beispiel 1

Beispiel 2 & Quantenmechanik

Dysons Gleichung

Beispiel 3

Quantenfeldtheorie & Beispiel 4

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