Wie genau ist der Propagator eine Greensche Funktion für die Schrödinger-Gleichung?

Sakurai erwähnt (in verschiedenen Ausgaben), dass der Propagator eine Greensche Funktion für die Schrödinger-Gleichung ist, weil er sie löst

(2.5.12/2.6.12) ( H − ich ℏ ∂ ∂ t ) K ( x , t , x 0 , t 0 ) = − ich ℏ δ 3 ( x − x 0 ) δ ( t − t 0 ) .

Ich sehe das nicht. Erstens verstehe ich nicht, wo die − ich ℏ Der Dirac-Delta-Quellbegriff stammt von.

Und wenn ich mich richtig erinnere, wird eine Green-Funktion verwendet, um inhomogene lineare Gleichungen zu lösen, aber die Schrödinger-Gleichung ist homogen

( H − ich ℏ ∂ ∂ t ) ψ ( x , t ) = 0 ,
dh es gibt keinen Zwangsterm. Ich verstehe, dass der Propagator verwendet werden kann, um die Wellenfunktion aus Anfangsbedingungen (und Grenzwerten) zu lösen. Macht es das nicht zu einem Kernel? Und was bedeutet Sakurais Identität?

Dies ist eine wirklich alte Frage, aber letztendlich ist die Antwort darauf, warum Sie die inhomogene Green-Funktion für den homogenen Fall verwenden, etwas, das Mathematikern als Duhamel-Prinzip bekannt ist. Dies ist eine generische Methode für partielle Differentialgleichungen und die gleiche Idee hinter dem Huygen-Prinzip.
Ich bin mir nicht sicher, bei Duhamels Prinzip scheint es darum zu gehen, die Lösung eines Anfangswertproblems zur Lösung des inhomogenen Problems zu verwenden, während dies genau das entgegengesetzte Problem ist, wie man ein homogenes Anfangswertproblem mit einer grundlegenden Lösung für das inhomogene Problem löst . Es ist sicher eine alte Frage, aber wenn ich mir einige ähnliche Fragen ansehe, bin ich jetzt zufrieden, dass die zusätzlichen Begriffe nur wegen der zeitlichen Reihenfolge erscheinen, obwohl die hier gegebene Antwort dies nicht sehr gut erklärt.

Antworten (1)

Lesen Sie hier meine Antwort auf eine verwandte Frage . Beachten Sie, dass die nächste Gleichung, die Sakurai gibt, den entscheidenden Unterschied ausmacht.

K ( x ' ' , t ; x ' , t 0 ) = 0  zum  t < t 0 .
Dies ist implizit die Θ ( t − t 0 ) Funktion imposante Zeitreihenfolge, die ich erwähne. Es macht den Unterschied zwischen dem Dirac δ Fahrbedingungen und nicht. Es erklärt auch den Koeffizienten, nach dem Sie fragen.
− ich ℏ d d t Θ ( t − t 0 ) = − ich ℏ δ ( t − t 0 )
Das δ -Funktion an den räumlichen Punkten stammt aus der Antwort, die ich verlinkt habe.

Danke, jetzt sehe ich etwas klarer. Trotzdem verstehe ich immer noch nicht, wie und warum dieses Verfahren die Schrödinger-Gleichung löst. Wenn ich schreibe
ψ ( x ″ , t ″ ) = ∫ d 3 x ' K ( x ″ , t ″ ; x ' , t ' ) ψ ( x ' , t ' )
und den Schrödinger-Operator auf beiden Seiten anwenden, bekomme ich nicht genau Null, wie ich annehmen würde. Ich verstehe einfach nicht, warum eine Greensche Funktion, die verwendet wird, um eine inhomogene Lösung für einen linearen Operator zu finden, verwendet werden kann, um ein Anfangswertproblem zu lösen.
So wirst du es nicht lösen. Die Restlaufzeit erhältst du aus der Integration über die δ Funktionen. Um die Schrödinger-Gleichung zu lösen, würden Sie die Bedingung für die Zeitordnung nicht setzen. Dann Faltung des Anfangszustandes ψ ( x ' , t ) mit K gibt die Lösung zu einem späteren oder früheren Zeitpunkt an.
@Kasper Meerts: Sie erhalten genau Null: Der korrekte Integrationsbereich erstreckt sich nur über eine Zeitscheibe, sodass t 'in Ihrem Integral 0 ist und alle anderen Integrale unverändert bleiben. Dies lässt sich am einfachsten intuitiv machen, indem ein SHO durch die exakte Greensche Funktion gelöst wird.
Siehe das
Wie genau ist der Propagator eine Greensche Funktion für die Schrödinger-Gleichung?
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