Feynmans Ableitung der Schrödinger-Gleichung. Mögliche räumliche Abhängigkeit

Ich arbeite an dem Buch „Quantum Mechanics and Path Integrals“ von Feynman und Hibbs. Beim Auffinden der Übereinstimmung mit der Schrödinger-Gleichung nimmt er

$$\eqalign{&\psi(x,t+\epsilon) = {}\cr &\int_{-\infty}^{\infty} \!\!\exp\left\{\frac{i\,\epsilon}{\hbar} L\left(\frac{x + y}{2},\frac{x - y} {\epsilon}\right) \right\}\, \psi(y,t)\,\frac{\mathrm{d}y}{A(\epsilon)}\cr}$$

Machen Sie die Lagrange-Funktion explizit als$L = m\dot{x}^2/2 - V(x,t)$, und nehmen Sie die Substitution vor$y = x + \eta$er gibt

$$\eqalign{ &\psi(x,t+\epsilon) = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \cr &\qquad\exp\left\{ -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V\left( x+ \frac{\eta}{2}, t \right) \right\} \psi(x +\eta, t) \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Jetzt ändert sich die erste Exponentialfunktion sehr schnell und er sagt, dass der größte Teil des Integrals von beigesteuert wird$\eta$in der Größenordnung von 0 bis$\sqrt{2\hbar \epsilon/m}$. Für ein kleines$\eta$er kann nun auch die zweite Exponentialfunktion erweitern$\psi$

$$\eqalign{ &\psi(x,t) + \epsilon\, \frac{\partial \psi}{\partial t} = {}\cr &\quad\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \left[1 -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V \left( x, t \right)\right] \cr &\qquad\left[\psi(x,t) + \eta \frac{\partial \psi}{\partial x} +\frac{\eta^2}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right] \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Hier ersetzt er$\epsilon V(x +\frac{\eta}{2},t)$für$\epsilon V(x,t)$sagen, dass der Fehler von höherer Ordnung als ist$\epsilon$.

Mein Problem ist, dass die Erweiterung von$V(x +\frac{\eta}{2},t)$hätte eine Bestellfrist$\eta$, was multipliziert mit$\eta \frac{\partial \psi}{\partial x}$würde eine Bestellfrist geben$\eta^2$und seine Integration wäre ungleich Null. Die Bestellbedingungen$\eta^2$werden nicht vernachlässigt, da das mit der zweiten Ableitung von zusammenhängt$\psi$ist erhalten. Der problematische Begriff ist dann

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \frac{i\, \epsilon \, \eta^2}{\hbar} \left. \frac{\partial V}{\partial (x + \eta/2)} \right|_{(x,t)} \frac{\partial \psi}{\partial x} \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}$$

Ich denke, das Problem könnte sein, dass ich die Taylor-Reihe nicht richtig arbeite.

Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe.