Maß des Feynman-Pfadintegrals

Question

Maß des Feynman-Pfadintegrals

aitfel

Das Feynman-Pfadintegral für den nichtrelativistischen Fall ist definiert als:

\int D [X (T)] e^{ich S / ℏ}

$\int\mathcal{D}[x(t)]e^{iS/\hbar}$ Wo

\int D [X (T)] = lim_{N \to \infty} Π_{ich = 0}^{ich = N} (\int_{- \infty}^{\infty} D X_{ich})

$\int \mathcal{D[x(t)]}=\lim_{N\rightarrow\infty}\Pi_{i=0}^{i=N}\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_{i}\bigg)$

Im Kurs und in den Büchern, denen ich beim Studium von Pfadintegralen begegnet bin, wird der Begriff „ Maß “ ohne vorherige Vorstellung eingeführt. Die beste Intuition, die ich über Maß habe, ist, dass es wie ein Gewicht ist, das Sie jedem Term einer Reihe zuweisen, die Sie summieren (ich verstehe nur das Riemann-Integral, also neigt es eher zur Idee der Fläche, nur ein bisschen Verallgemeinerung).

Als ich mich ein wenig mit der Brownschen Bewegung befasste, stieß ich auf den Wiener-Prozess. Das dort verwendete Integral (Propagator) ist fast identisch mit dem von Feynman, dem $i$ wird ersetzt durch $-1$ aber ich konnte nicht viel darüber verstehen, weil die Diskussion auf dem zentralen Grenzwertsatz und dem Lebesgue-Maß basierte. Aber die Kopfschmerzen verursachende Sache, an die ich mich erinnere, ist, dass Wiener-Integrale konvergente Feynman-Integrale nicht sind (die Erklärung, auf die ich gestoßen bin, ist, dass es am oszillierenden Verhalten des Faktors liegt, $e^{iS/\hbar}$ . Die Integrale sind bedingt konvergent, während wir im Fall von Wiener eine abnehmende Funktion haben $e^{-S}$ und das ist der Grund, warum wir gehen $-i\epsilon$ Verschreibung).

Wie Sie vielleicht in der obigen Erklärung bemerkt haben, wird der Exponentialfaktor mit dem zusammengezogen $\mathcal{D}$ Faktor zum Vergleich mit den Wiener Integralen . Ebenso das Maß $M$ , ist gleich $\color{red}{\mathcal{D}[x(t)]e^{iS/\hbar}}$ und Feynman-Integrale sind von Form $\int M f(x(t))$ ? Die Leute sagen auch, dass es Feynman-Pfadintegrale gibt, die kein Wiener-Maß verwenden, aber ich habe sie noch nie gesehen. Gibt es sie in der Literatur?

Wenn die Bücher von einer QM mit einem Teilchen zu einer QFT übergehen, geben die Autoren einfach an, dass der Propagator gegeben ist durch

\int D [ϕ (X)] e^{ich S / ℏ}

$\int\mathcal{D}[\phi(x)]e^{iS/\hbar}$ ohne Definition von

D [ϕ (x)]

$\mathcal{D}[\phi(x)]$ .

ich habe das gehört $\mathcal{D}[\phi(x)]$ kann im Hinblick auf definiert werden $a$ , $a^{\dagger}$ (Annihilation and Creation Operator) und dies wurde von Ludvig Faddeev durchgeführt, konnte es aber nicht finden.

wahrscheinlich_jemand

In meinem QFT-Kurs wurde dies ausdrücklich als ein Bereich aktiver Forschung anerkannt: Herauszufinden, was genau wir mit "Messen" in einem streng mathematischen Sinne meinen, ist etwas, das noch in Arbeit zu sein scheint. Ich kann mich irren, aber das war mein Eindruck.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/1894/2451 , physical.stackexchange.com/q/6530/2451 , physical.stackexchange.com/q/27665/2451 und Links darin.

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Maß des Feynman-Pfadintegrals

In meinem QFT-Kurs wurde dies ausdrücklich als ein Bereich aktiver Forschung anerkannt: Herauszufinden, was genau wir mit "Messen" in einem streng mathematischen Sinne meinen, ist etwas, das noch in Arbeit zu sein scheint. Ich kann mich irren, aber das war mein Eindruck.
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m93a · Answer 1

Die Ergebnisse in dieser Antwort stammen direkt von Blank, Exner und Havlíček: Hilbert-Raumoperatoren in der Quantenphysik. Suchen Sie dort nach weiteren Einzelheiten.

Zumindest in der nicht-relativistischen QM wird das Pfadintegral unter Verwendung des einschränkenden Verfahrens des „Nehmens immer feinerer Zeitscheiben“ des Pfads abgeleitet/definiert. Die genaue Formel für ein System von $M$ Teilchen ist:

\begin{aligned} U (T) ψ (X) \\ = lim_{N \to \infty} \prod_{k = 1}^{M} (\frac{M_{k} N}{2 π ich T})^{N / 2} lim_{J_{1}, . . . J_{N} \to \infty} \int_{B_{J_{1}} \times . . . \times B_{J_{N}}} \exp (ich S (X_{1}, . . . X_{N})) ψ (X_{1}) D X_{1} . . . D X_{N - 1} \\ =: \int \exp (ich S [X]) D X \end{aligned}

$\begin{align} &U(t) \, \psi(x) \\ &= \lim_{N\to\infty} \; \prod_{k=1}^M \; \Big( \frac{m_k \, N}{2\pi\mathrm{i} \, t} \Big)^{N/2} \hspace{-0.2em} \lim_{j_1, ... j_N \to \infty} \; \int_{B_{j_1}\!\times...\times B_{j_N}} \hspace{-3em} \exp(\mathrm{i} \, S(x_1, ...x_N)) \; \psi(x_1) \; \mathrm{d}x_1 \, ... \, \mathrm{d}x_{N-1} \\ &=: \int\exp(\mathrm{i} \, S[x]) \; \mathcal{D}x \, \end{align}$ Wo

S [x]

$S[x]$ ist die klassische Aktion über den Pfad

x

$x$ Und

S (x_{1}, . . . x_{N}) := S [γ]

$S(x_1,...x_N) := S[\gamma]$ ist die gleiche Aktion, die über eine polygonale Linie ausgeführt wird

γ

$\gamma$ , so dass

γ (t_{i}) = x_{i}

$\gamma(t_i) = x_i$ sind die Eckpunkte. (Eigentlich ist es nicht garantiert, dass der obige Ausdruck konvergiert zu

U (t) ψ (x)

$U(t)\psi(x)$ für jeden

S

$S$ , aber es tut sie für eine große Klasse.)

Beachten Sie, dass speziell für den kinetischen Teil von $S = \int_0^t (\frac{1}{2} \sum_i m_i \dot x^2_i(t') + V(x(t') ) \, \mathrm{d}t'$ wir haben:

\int_{0}^{T} \dot{γ} (T_{1}, . . . T_{N}) = \sum_{k = 0}^{N} | X_{k + 1} - X_{k} |^{2}

$\int_0^t \dot{\gamma}(t_1, ... t_N) = \sum_{k=0}^N \big| x_{k+1} - x_k \big|^2$

Aus dieser Definition ist unklar, ob $\mathcal{D} x$ tatsächlich ein Maß ist oder nicht, also vergleichen wir das Integral mit dem Wiener-Integral – einem Integral über Wiener-Prozesse mit Abweichung $\sigma\in\mathbb{R}$ , die tatsächlich ein richtiges Maß hat, $w_\sigma$ . Lassen Sie eine funktionale $F[x]$ auf Wiener-Prozessen hängen nur von einer endlichen Anzahl von Punkten ab $x$ . Ein solches Funktional wird zylindrisch genannt und ist im Geiste unserer Aktion ähnlich $S(x_1,...x_N)$ auf einer polygonalen Linie. Dann bekommen wir:

\begin{aligned} \int F [X] D w_{σ} \\ = \prod_{k = 0}^{N - 1} (\frac{N}{2 π ich T})^{- N / 2} \int_{R^{N N}} \exp (\frac{- 1}{2 σ} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X_{k + 1} - X_{k} |^{2} \frac{T}{N}) F (X_{1}, . . . X_{N - 1}) D X_{1} . . . D X_{N - 1} \end{aligned}

$\begin{align} &\int F[x] \, \mathrm{d}w_\sigma\\ &= \prod_{k=0}^{N-1} \Big( \frac{N}{2\pi \mathrm{i} \, t} \Big)^{\!-N/2} \!\! \int_{\mathbb{R}^{nN}} \hspace{-1em} \exp\big( \frac{-1}{2\sigma} \sum_{k=0}^{N-1} \big| x_{k+1} - x_k \big|^2 \, \frac{t}{N} \big) \, F(x_1, ... x_{N-1}) \, \mathrm{d}x_1 \, ... \, \mathrm{d}x_{N-1} \end{align}$ Man kann das überprüfen, indem man formal wählt

m_{1} = . . . = m_{M} = i / σ

$m_1=...=m_M=\mathrm{i}/\sigma$ gelangen wir zur Definition des Wegintegrals. Allerdings das Wiener Maß

w_{σ}

$w_\sigma$ ist nur für real definiert

σ

$\sigma$ – Die Frage ist dann, kann man das verallgemeinern?

Überraschenderweise ist die Antwort negativ. Unter Berufung auf den Satz von Cameron (wiederum aus dem Buch von Blank, Exner, Havlíček):

Lassen $\sigma$ eine komplexe Zahl ungleich Null sein, $\operatorname{Re} \sigma \ge 0$ . Ein endlich komplexes Maß $w_\sigma$ so dass die obige Beziehung für jede Borel-Funktion gilt $F$ von Wiener Prozessen zu $\mathbb{C}$ , das zylindrisch und beschränkt ist, existiert iff $\sigma \in (0,\infty)$ .

Dieses Ergebnis wird als Beweis dafür gewertet, dass es kein geeignetes Maß für das Feynman-Wegintegral gibt . Stattdessen können wir einen von mehreren verschiedenen Ansätzen wählen. Neben der Verwendung der von uns verwendeten Definition kann man auch das Wiener-Integral berechnen, parametrisiert durch $\sigma\in\mathbb{R}$ , und machen Sie dann eine analytische Fortsetzung zu $\mathbb{C}$ . Ein weiterer möglicher Ansatz besteht darin, verallgemeinerte Fresnel-Integrale zu verwenden.

Maß des Feynman-Pfadintegrals

aitfel

wahrscheinlich_jemand

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m93a

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