Paradox bei der Ableitung des Pfadintegrals von Quantenfeldern

In Peskin, S. 282, heißt es: "Die im letzten Abschnitt abgeleitete allgemeine funktionale Integralformel (9.12) gilt für jedes Quantensystem, also sollte sie auch für eine Quantenfeldtheorie gelten." (9.12) ist die Formel
U ( Q A , Q B , T ) = ( ∏ ich ∫ D Q ( T ) D P ( T ) ) exp ⁡ [ ich ∫ 0 T D T ( ∑ ich P ich Q ˙ ich − H ( Q , P ) ]

Bei der Ableitung dieser Formel werden die Identitätsoperatoren ∫ D Q | Q ⟩ ⟨ Q | Und ∫ D P | P ⟩ ⟨ P | eingefügt werden, und die Gleichheiten ⟨ Q | Q ' ⟩ = δ ( Q − Q ' ) , ⟨ Q | P ⟩ = e ich P Q Und ∫ D P e ich P ( Q − Q ' ) = 2 π δ ( Q − Q ' ) werden verwendet.

Bei einer parallelen Ableitung im Klein-Gordon-Feld sollte ich zunächst annehmen, dass es Eigenzustände beider Feldoperatoren gibt ϕ ^ ( R ) und der Impulsoperator π ^ ( R ) :
ϕ ^ ( R ) | ϕ ⟩ = ϕ ( R ) | ϕ ⟩
π ^ ( R ) | ϕ ⟩ = π ( R ) | ϕ ⟩
und fügen Sie die Identitätsoperatoren ein ∫ D ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | Und ∫ D π | π ⟩ ⟨ π | hinein ⟨ ϕ B | e − ich H T | ϕ A ⟩ , und verwenden Sie die Gleichheiten ⟨ ϕ | ϕ ' ⟩ = δ ( ϕ − ϕ ' ) , ⟨ ϕ | π ⟩ = e ich ∫ D 3 R π ( R ) ϕ ( R ) Und ∫ D π e ich ∫ D 3 R π ( R ) ( ϕ ( R ) − ϕ ' ( R ) ) = 2 π δ ( ϕ − ϕ ' ) . Hier scheint es kein Problem zu geben.

Betrachten Sie nun dasselbe Verfahren für ein Schrödinger-Bosonenfeld (QFT selbst erfordert keine Relativitätstheorie). Ich brauche die Eigenzustände | ψ ⟩ des ersten Betreibers ψ ^ ( R ) :
ψ ^ ( R ) | ψ ⟩ = ψ ( R ) | ψ ⟩
und auch die Orthogonalitätsrelation ⟨ ψ | ψ ' ⟩ = δ ( ψ − ψ ' ) . Durch Einfügen des Identitätsoperators erhalte ich also eine Darstellung von ψ ^ ( R ) :
ψ ^ ( R ) = ∫ D ψ ∗ D ψ ψ ^ ( R ) | ψ ⟩ ⟨ ψ | = ∫ D ψ ∗ D ψ ψ ( R ) | ψ ⟩ ⟨ ψ |
Machen Sie hermitische Konjugation,
ψ ^ † ( R ) = ∫ D ψ ∗ D ψ ψ ∗ ( R ) | ψ ⟩ ⟨ ψ |
Hier kommt das Problem: mit diesen beiden Gleichheiten werde ich immer hinkommen
[ ψ ( R ) , ψ † ( R ' ) ] = ∫ D ψ ∗ D ψ ( ψ ( R ) ψ ∗ ( R ' ) − ψ ∗ ( R ' ) ψ ( R ) ) | ψ ⟩ ⟨ ψ | = 0
im Widerspruch zur Quantisierungsbedingung [ ψ ( R ) , ψ † ( R ' ) ] = ich δ ( R − R ' )

Was stimmt damit nicht? Wenn einige der obigen Bedingungen gelockert werden sollten, wie leitet man dann die entsprechende Pfadintegralformel für ein Quantenfeld ab?

Antworten (1)

Das Schrödinger-Feld ψ ist nicht hermitesch, es ist ein Vernichtungsoperator, also hat es nicht unbedingt eine Basis von Eigenzuständen, und die Eigenzustände, die es hat, sind Feldversionen von kohärenten Zuständen . Da in Ihrer Frage nichts wirklich vom feldtheoretischen Aspekt abhängt, werde ich im Folgenden nur von gewöhnlichen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren sprechen A , A † und ihre kohärenten Zustände | z ⟩ .

Die Auflösung der Identität in Bezug auf kohärente Zustände | z ⟩ (mit komplexen Eigenwerten!) ist nicht gegeben durch ∫ D z D z ∗ | z ⟩ ⟨ z | sondern durch

1 = ∫ D z D z ∗ 2 π ich e | z | 2 | z ⟩ ⟨ z | .
Außerdem ist die Menge der kohärenten Zustände übervollständig – sie ist keine Basis. Nichts davon ist die Fehlerquelle, aber dennoch erwähnenswert.

Ihr besonderer Fehler liegt im Schreiben

[ ψ ( R ) , ψ † ( R ' ) ] = ∫ D ψ ∗ D ψ ( ψ ( R ) ψ ∗ ( R ' ) − ψ ∗ ( R ' ) ψ ( R ) ) | ψ ⟩ ⟨ ψ | ,

dies ist nicht wahr, wie ich für den analogen Fall zeigen werde A , A † :

[ A , A † ] = ∫ D z D z ∗ 2 π ich e | z | 2 A | z ⟩ ⟨ z | A † − ∫ D z D z ∗ 2 π ich e | z | 2 A † | z ⟩ ⟨ z | A ,
Aber A † | z ⟩ ≠ z ∗ | z ⟩ . Es gibt einfach keinen Grund dafür, dass das wahr ist, und in der Tat ist es das auch nicht. Bedenkt, dass [ A , A † ] ist so ziemlich die gleiche Relation wie die Standardrelation von [ X , P ] , wir sollten das viel eher erwarten, wenn A wirkt als Multiplikation auf | z ⟩ , Dann A † wirkt durch Differentiation!

Entscheidend ist in jedem Fall, dass man die nicht ableiten kann = 0 auf diese Weise. Das Pfadintegral des kohärenten Zustands widerspricht nicht seiner eigenen Quantisierungsannahme.

♦: Danke für die Antwort! Was Sie wirklich meinen, ist, den Zustand zu entspannen ⟨ ψ | ψ ' ⟩ = δ ( ψ − ψ ' ) in meiner Ableitung also ψ ^ ( R ) | ψ ⟩ = ψ ( R ) | ψ ⟩ bedeutet nicht ψ ^ † ( R ) | ψ ⟩ = ψ ( R ) ∗ | ψ ⟩ . Dann kommt das nächste Problem: Wie leitet man das Pfadintegral des Schrödingerfeldes ohne diese Orthogonalitätsbeziehung ab?
@StupidBird In der Tat haben wir ⟨ z | z ' ⟩ = e z ∗ z ' ≠ 1 . Wie das Integral des kohärenten Zustandspfads funktioniert, ist eine andere Frage, und ich würde Ihnen nur raten, mit Ihrer bevorzugten Suchmaschine nach diesem Begriff zu suchen, dafür gibt es viele Erklärungen.
Paradox bei der Ableitung des Pfadintegrals von Quantenfeldern
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