Wegintegrale Darstellung von ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Question

Wegintegrale Darstellung von ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Anonym

Wie berechne ich die Pfadintegraldarstellung von $\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle$ Wo $t_i<t_1<t_f$ ? Ich tue dies, indem ich die Zeitintervalle diskretisiere und einen vollständigen Satz von hinzufüge $|q_j t_j\rangle$ Staaten an jedem Punkt, dann zu der Zeit $t_1$ , kann man hinzufügen $p(t_1)|p^{\prime} t_1\rangle \langle p^{\prime} t_1|$ , das ist der Impuls des Teilchens zur Zeit $t_1$ . Nachdem Sie das innere Produkt mit dem Positionszustand zur Zeit genommen haben $t_1$ , und die Integration bekomme ich

\frac{1}{H} \int D (Q) D (P) \int D P^{'} \frac{P^{'^{2}}}{2 M} e X P (- \frac{ich}{ℏ} Q_{T_{1} - 1} P^{'} - (T_{F} - T_{ich}) H (P^{'}, (\frac{Q_{T_{1} - 1} + Q_{T_{1}}}{2}))) e X P (\frac{ich}{ℏ} S)

$\frac{1}{h} \int \mathcal{D(q)} \mathcal{D(p)} \int dp^{\prime} \frac{p^{\prime^2}}{2m} exp(-\frac{i}{\hbar}q_{t_1-1}p^{\prime}-(t_f-t_i)H(p^{\prime}, (\frac{q_{t_1-1}+q_{t_1}}{2})))exp(\frac{i}{\hbar}S)$

Das sieht furchtbar hässlich und falsch aus. Wie mache ich es?

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v2): Bitte überprüfen Sie Ihre Formel erneut.

Trimok

Ich schlage vor, dass Sie Ihren ursprünglichen Ausdruck umschreiben als:

⟨ q_{f} | e^{- i H (t_{f} - t_{1})} \hat{p} (t_{1}) e^{- i H (t_{1} - t_{i})} | q_{i} ⟩

$\langle q_f | e^{-i H(t_f - t_1)} \, \hat p(t_1) \, e^{-i H(t_1 -t_i)}|q_i\rangle$

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Kommentar zur Frage (v2): Bitte überprüfen Sie Ihre Formel erneut.
Ich schlage vor, dass Sie Ihren ursprünglichen Ausdruck umschreiben als: $\langle q_f | e^{-i H(t_f - t_1)} \, \hat p(t_1) \, e^{-i H(t_1 -t_i)}|q_i\rangle$

Benutzer1504 · Answer 1

Machen Sie das Pfadintegral mit diesen Randbedingungen und einem zusätzlichen Quellterm $S = \int_{t_0}^{t_1} q(t) j(t)dt$ . Dies ist ein Gaußsches Integral und durchaus machbar (obwohl Sie mit den Randbedingungen etwas vorsichtig sein müssen). Dann benutze $Z(j)$ als erzeugendes Funktional: Differenziere $Z(j)$ in Bezug auf die 'Koordinatenrichtung' $j \mapsto j(t_1)$ , und dann einstellen $j=0$ . Dies bringt die herunter $p(t_1)$ du wolltest.

Wollen Sie damit sagen, fügen Sie den Begriff hinzu $\int q(t)j(t)$ ?, Ich sehe nicht, wie Differenzierung mit $j$ , würde zu Fall bringen $p(t_1)$ ?
Entschuldigung, obiger Kommentar sollte gelesen werden $p(t)j(t)$
Ja. Verzeihung! Sie können auch einfach den Differenzenquotienten auf dem Gitter machen.

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