Wann gilt die Vielteilchen-Störungstheorie?

Ich berechne Erwartungswerte (thermisch, zeitunabhängig) mithilfe der Vielkörper-Störungstheorie, bin mir aber nicht sicher, wie ich herausfinden soll, welche Werte der Parameter annehmen kann, in dem ich die Störungsreihe erweitere.

Ich habe gelesen, dass es ist, wenn die Matrixelemente, ⟨ ich | H P e R T | J ⟩ Wo H P e R T ist der Störterm des Hamilton-Operators und | ich ⟩ Und | J ⟩ die Eigenvektoren des ungestörten Hamilton-Operators sind, sind viel kleiner als die Energiedifferenz zwischen ich Und J . Aber ich verstehe nicht wirklich, was das bedeutet oder wie es mir hilft, zu berechnen, welche Werte mein Störungsparameter annehmen kann. Gibt es eine Methode, mit der ich es herausfinden kann?

Bearbeiten:

Um dies zu konkretisieren, habe ich wie gewünscht ein eindimensionales fermionisches Hubbard-Modell mit Hamiltonian

H = − T ∑ ⟨ l , M ⟩ ( C l † C M + H . C . ) + U ∑ l ( N l ↑ − 1 / 2 ) ( N l ↓ − 1 / 2 )

Ich habe einen speziellen Fall, wo ich das weiß U ist sehr klein und ich möchte die Vielkörper-Störungstheorie verwenden, um ihre Auswirkungen auf Korrelationsfunktionen zu sehen. Ich berechne die Korrelationsfunktionen mit der funktionalen Integralmethode (dh Berechnung einer funktionalen Zustandssumme). Wie würde ich in diesem Fall herausfinden, wie klein U muss sein, damit die Störungstheorie gültig ist?

Zweitens (falls dies eine separate Frage sein sollte, lassen Sie es mich bitte wissen!), ob ich stattdessen eine zufällige Frage habe U , abhängig von seiner Position im Gitter,

H = − T ∑ ⟨ l , M ⟩ ( C l † C M + H . C . ) + ∑ l U l ( N l ↑ − 1 / 2 ) ( N l ↓ − 1 / 2 )

Ich kann dann eine ähnliche funktionale Integraltechnik verwenden, aber einen Durchschnitt über die funktionale Zustandssumme nehmen (z. B. über eine Gaußsche Verteilung). Dieser Durchschnitt entfernt die U l und verlässt Δ , die Varianz der Verteilung, über die wir gemittelt haben. In diesem Fall ist es Δ in der die Störungsreihe erweitert wird. Wie würde ich vorgehen, um herauszufinden, wie klein Δ muss sein, damit die Störungsreihe gültig ist?

Ich möchte keine Antwort, die für jedes System gilt, ich möchte nur verstehen, wie man sie für jedes System findet. Also, wenn jemand ein anderes System kennt, wo gezeigt wird, wie klein die Ausdehnungsdauer sein muss, lass es mich wissen.

Danke.

Ist many-bodywichtig in Ihrer Frage? Für mich sieht es so aus, als würde ein sorgfältiges Lesen der Störungstheorie helfen.
@misha Ja, viele Körper sind wichtig. Die Erwartungswerte berechne ich aus einer funktionalen Zustandssumme. Ich habe an vielen Stellen über diese Art von Störungstheorie gelesen, aber keine, die sich darauf konzentriert. Wenn du welche kennst, wäre das super!
Sie sollten sagen, dass Sie nach einer störungsbezogenen Behandlung eines räumlich variablen Hüpfens in einem Hubbard-Modell fragen, dies konkretisiert das Problem. Es gibt keine allgemeine Antwort auf die Frage, da sie empfindlich von Dingen abhängt, die in Bezug auf grobe Matrixelementgrenzen nicht angegeben werden können.
@Calvin Beim Versuch, die Frage allgemein zu stellen, sind einige wichtige Details verloren gegangen. Nein, ich kenne nicht viele Hubbard-Modelle. Ihre Vorstellung, dass sich die Störungstheorie dort von der Störungstheorie anderswo unterscheiden sollte, erscheint jedoch unnatürlich. Daher gehe ich davon aus, dass sich Ihre Frage nicht auf die Störungstheorie bezieht, sondern darauf, wie die Störung auf das spezielle Problem angewendet werden kann, das Sie (leider) in der Frage nicht formuliert haben.
@Misha Ich habe meine Frage aktualisiert. Der Grund, warum ich es allgemein gemacht habe, ist, dass ich wissen möchte, wann die Störung für ein beliebiges Modell gültig ist, nicht nur für dieses. Damit meine ich nicht etwas, das für irgendein System gilt; Ich meine, ich würde gerne verstehen, wie man ein System herausfindet. Wenn Sie Beispiele kennen (nicht nur mit dem Hubbard-Modell), weisen Sie mich bitte in die richtige Richtung. Danke.
@Ron Ich habe meine Frage bearbeitet, und schauen Sie sich bitte den Kommentar an, den ich an Misha geschrieben habe, um zu sehen, warum ich ihn allgemein gemacht habe. - Ich möchte keine Antwort, die für jedes System gilt, ich möchte nur verstehen, wie man sie für jedes System findet. Danke.

Antworten (3)

Ihr "Störungsparameter" sollte nur etwas sein, das die Skala festlegt H P e R T -- das heißt, die Größe der von Ihnen angegebenen Matrixelemente im Vergleich zu den bloßen Energien des ungestörten Problems, dessen genaue Lösung Sie kennen. Um zu verstehen, warum das so ist, müssen Sie sich nur den expliziten Beitrag zweiter Ordnung aus der (nicht entarteten!) Störungstheorie ansehen, sagen wir für den Grundzustand:

E 0 ( 2 ) = − ∑ J ≠ 0 ⟨ 0 | H P e R T | J ⟩ ⟨ J | H P e R T | 0 ⟩ E J − E 0

Sie können ablesen, dass dies nur eine kleine Korrektur sein wird (und es muss eine kleine Korrektur sein, wenn wir die Entwicklung hier abschneiden wollen), wenn Sie begründen können, dass diese Matrixelemente kleiner sind als die Energiedifferenz zwischen den Zuständen. Wenn Sie das nicht können (sagen wir, Sie haben keine Kontrolle über die Stärke der Störung), dann können Sie der Störungsausdehnung nicht vertrauen.

Bearbeiten 1: Wenn wir die Störungserweiterung ableiten, besteht das übliche Rezept darin, etwas in die Richtung zu tun H = H 0 + a H P e R T , wie Sie sagen, erweitern Sie dann in Alpha -- aber wir müssen bedenken, dass dieser Typ a ist ein Buchhaltungsgerät, mit dem wir sicherstellen können, dass wir alle Begriffe korrekt nach ihrer Reihenfolge in Alpha gruppieren! Nachdem wir mit der Buchhaltung und Gruppierung der Begriffe fertig sind, a → 1 immer . Es ist nicht Teil der Physik und es steht uns nicht zu, damit zu spielen. Wir haben es als formales Mittel erweitert. Der wirklich kleine Parameter wird das Verhältnis der gesamten Energieskala von sein H P e R T Zu H 0 .

Lassen Sie mich ein Beispiel geben. Das Fermion-Hubbard-Modell hat zwei Terme – (1) eine leicht diagonalisierte lokale Wechselwirkung mit einer sogenannten Coulomb-Energieskala U ; (2) ein Next-Neighbour-Hopping-Term, der nicht auf derselben Basis diagonalisiert werden kann, mit einer Energieskala (~ Bandbreite) genannt T . Ob wir der Störungstheorie ausgehend von dieser Grundlage vertrauen können [das heißt, das Springen als Störung nehmen], hängt nur von der dimensionslosen Skala ab T / U , und nicht der Buchhaltungsparameter, den wir verwendet haben, um die formalen Bedingungen der Erweiterung abzuleiten.

Ja, mit Störungsparameter meine ich a mit dem Begriff a H P e R T im Hamiltonian. Aber ich berücksichtige die thermodynamische Grenze, daher kann ich nicht berechnen, ob sie für alle möglichen klein ist ich Und J Trotzdem. Gibt es eine andere Möglichkeit, um festzustellen, wie klein a muss das sein (oder habe ich das falsch verstanden)?
Hm. Es könnte mir helfen, Ihre Frage zu verstehen, wenn Sie mir das explizite Modell mitteilen, das Sie verwenden. Ich werde meine Antwort bearbeiten, und Sie sagen mir, ob ich den Punkt völlig verfehle. :)
Für mich der Parameter a ist der T im Fermion-Hubbard-Modell, und ich möchte es erweitern a . Das Hubbard-Modell ist als Beispiel in Ordnung, aber ich kann die Frage bearbeiten, um weitere Einzelheiten meines eigenen Modells aufzunehmen, wenn Sie möchten?
„Die Gesamtenergieskala von $H_{\rm{pert}$“ kann die Zustandsdichte und/oder die Temperatur des Systems beinhalten.
@wsc Eigentlich, genauer gesagt, wenn ich ein Hubbard-Modell habe, aber mit T abhängig davon, wo es sich im System befindet (dh es hängt davon ab l , die Position). Ich mittele dann über N Replikate der Partitionsfunktion, um die zu entfernen T l , und dann bleibt mir ein Parameter übrig Δ was die Varianz der Verteilung von ist T l . Es ist Δ Ich erweitere dann. Dies ist eine andere Frage, aber ich würde gerne die Antwort sowohl auf diese als auch auf den Fall wissen, ohne den Mittelwert zu verwenden T .
Dies ist ein sehr interessantes System und sollte im Hauptteil der Frage prominent erwähnt werden. Es gibt keine allgemeine systemunabhängige Antwort für den Gültigkeitsbereich oder für die Genauigkeit einer Störungsreihe.
@wsc Irgendwelche Ideen?
Hmm. Nicht wirklich. Ich meine, es hört sich so an, als ob Sie eine quantitative Regel wollen – so etwas wie „In dieser Ordnung der Störungstheorie ist mein Konvergenzradius T / U bis zu $NUMBER.' Ich kenne nicht einmal eine systemabhängige Möglichkeit , das abzuschätzen, Sie müssen nur rechnen und beobachten, wie Ihre Reihe konvergiert (oder oszilliert und divergiert :( sei es, es gibt Tricks dafür ...)

Um zu beurteilen, ob die Störungstheorie in einem bestimmten Fall anwendbar ist, können Sie die Variationsstörungstheorie anwenden:

Bauen Sie einige Parameter in Ihre freie Vergleichstheorie ein, mit entsprechenden Gegenbegriffen in der Wechselwirkung, und machen Sie die Störungstheorie als Funktion dieser Parameter. Typischerweise ist die beste Parameterwahl diejenige, bei der die Antworten am wenigsten von kleinen Änderungen der Parameter abhängig sind und wie stark sich die Antworten ändern, gibt Ihnen eine Vorstellung davon, wie viel Genauigkeit Sie von Ihrer Berechnung erwarten können.

In einigen Fällen ist die Verbesserung drastisch; siehe zB http://en.wikipedia.org/wiki/Variational_perturbation_theory

Die Renormierungen in der Quantenfeldtheorie sind eine besondere Instanziierung der Variationsstörungstheorie, bei der die Variation wesentlich ist, um endliche Ergebnisse zu erhalten. Siehe mein Paper ''Renormalisierung ohne Unendlichkeiten - ein Tutorial'' http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

Ich denke, wir sollten zuerst genau definieren, wovon wir sprechen: Die übliche Art, die Vielkörper-Permutationstheorie bei endlicher Temperatur zu definieren, besteht darin, den Hamilton-Operator in zwei Teile zu teilen H = H 0 + λ v und erweitern Sie dann die thermischen Erwartungswerte in der zeitabhängigen Störungsreihe (auch bekannt als Dyson-Reihe):

⟨ A ⟩ = 1 Z T R ( e − β H A ) = 1 Z ∑ k = 0 ∞ ( − λ ) k k ! ∫ 0 β D k τ   e − β H 0   T [ A   v ( τ 1 ) ⋯ v ( τ k ) ]

Die Frage, ob dies "gültig" ist, hat eigentlich mehrere Teile:

  1. Konvergiert diese Reihe, wenn wir zu unendlicher Ordnung gehen ? Für das Hubbard-Modell und tatsächlich für jedes endliche Gitter- und Verunreinigungsmodell lautet die Antwort ja , weil das Gitter die ultraviolette Divergenz der Reihe reguliert. (Bei der thermodynamischen Grenze müssen wir etwas vorsichtiger sein.)

  2. Ist jeder Effekt perturbativ, dh können wir die Störungsreihe irgendwann abschneiden, um ihn zu erhalten ? Hier lautet die Antwort überraschenderweise nein , selbst für kleine Werte von λ . Ein berühmtes Gegenbeispiel ist der Kondo-Effekt, bei dem es sich um ein anomales Widerstandsminimum in Metallen mit einer geringen Menge magnetischer Verunreinigungen handelt. Dieser Effekt ist nicht störend.

  3. Können wir die Terme höherer Ordnung der Reihe verwenden, um den Fehler der Entwicklung abzuschätzen ? Hier ist die Antwort leider nicht sinnvoll . Dies ist in Festkörpersystemen schwierig: Während z. B. Ihre Gesamtenergie schnell mit der Expansionsordnung konvergieren kann, ordnen Vielkörpereffekte in viel kleinerem Maßstab häufig Ihre Energieniveaus neu, sodass Sie am Ende möglicherweise immer noch mit der falscher Grundzustand.

    Um dies konkreter zu machen, nehmen wir die Inter-Elektronen-Wechselwirkung U als Expansionsparameter. Der erste Term der Energieentwicklung wird von Hartree-Fock angegeben:

    E ( 1 ) = ∑ ich J k l ( U ich J k l − U ich J l k ) ⟨ C ich † C k ⟩ ⟨ C J † C l ⟩
    Für praktisch jedes Festkörpersystem ist Hartree-Fock bei weitem der größte Beitrag zur elektronischen Energie: Seine charakteristische Skala beträgt 10 eV oder 110.000 K, während die Energieskala für zB den Kondo-Effekt typischerweise in der Größenordnung von 10 to liegt 100 K. Somit sollte Ihr Kriterium funktionieren, und Hartree-Fock sollte uns eine ausreichend gute Antwort für die Eigenschaften eines Festkörpers oder eines Moleküls geben. Für viele Materialien trifft dies tatsächlich zu, aber es gibt Systeme, vor allem stark korrelierte Systeme, bei denen Hartree-Fock katastrophal versagt und den falschen Grundzustand, falsche Anregungsspektren usw. liefert.

Wann gilt die Vielteilchen-Störungstheorie?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v