Berechnung des Kernels mit Pfadintegralen für quadratische Lagrangianer

Ich lese Feynman und Hibbs über Path Integrals. In Abschnitt 3.5 zeigen sie, dass der Kern für einen Lagrangian der Form$L=a(t)\dot{x}^2+b(t)\dot{x}x+c(t)x^2+d(t)\dot{x}+e(t)x+f(t)$Ist$K(b,a)=e^{\frac{i}{\hbar}S_{cl}[b,a]}F(t_a,t_b)$. Wie berechne ich den Faktor im Allgemeinen?$F(t_a,t_b)$. In den Aufgaben nach dem Abschnitt habe ich die klassische Wirkung für das Teilchen in einem Magnetfeld und den erzwungenen harmonischen Oszillator berechnet. Aber ich weiß nicht, wie ich die Vorfaktoren berechnen soll. Dies ist beispielsweise das Problem 3-11 von Feynman und Hibbs, das Sie auffordert, den Kern des harmonischen Oszillators zu berechnen, der von einer externen Kraft angetrieben wird$f(t)$. Der Lagrange ist$L=\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2+f(t)x$. Die Antwort ist

Wo$T=t_f-t_i$Und$S_{cl}$ist die klassische Aktion. Wie kann ich sehen, dass das Obige der Faktor ist, der den Exponenten direkt oder über eine Berechnung multipliziert.