Itô- oder Stratonovich-Kalkül: Was ist aus physikalischer Sicht relevanter?

Die Langevin-Gleichung ist ein Beispiel für ein physikalisches Modell, das eine Differentialgleichung mit einem stochastischen Term beinhaltet. Nun frage ich mich, wie soll man damit umgehen?

Als ich mich mit stochastischen Prozessen beschäftigte, lernte ich Itô und den Stratonovich- Kalkül kennen*. Damals sah ich diese Dinge nur als technische Werkzeuge, die entwickelt wurden, um das stochastische Integral auf sinnvolle Weise zu definieren. Ja, je nachdem, welches Sie verwenden, erhalten Sie einige oder andere Ergebnisse, aber das hat mich nicht gestört, da ich diese Objekte als bloße mathematische Strukturen betrachtete.

Aber angesichts der Langevin-Gleichung frage ich mich, wie kann man sie sinnvoll interpretieren? Sowohl der Itô- als auch der Stratonovich-Kalkül scheinen vernünftige Alternativen zu sein, aber ich finde kein starkes Argument, das eine dem anderen vorzuziehen. Der Punkt ist, dass es eine Möglichkeit geben muss, zu entscheiden, welche Art von stochastischem Kalkül wir verwenden sollten! Zwei unterschiedliche Definitionen des stochastischen Integrals führen zu widersprüchlichen physikalischen Gesetzen, was problematisch ist.

Ich glaube, dass die Fokker-Planck-Gleichung über die Itô-Formel aus der Langevin-Gleichung abgeleitet werden kann, aber ich glaube nicht, dass dies mit Stratonovichs Kalkül zu erreichen ist ... Aber das wäre natürlich ein schlechtes Ad-hoc- Argument in zugunsten von Itôs Kalkül, also ist dies eindeutig unbefriedigend.

Zusammenfassend: Wie würden Sie vorgehen, um herauszufinden, welche Version des stochastischen Integrals bequemer ist, um mit stochastischen Gleichungen in der Physik umzugehen? Gibt es eine physikalische Annahme, die Itôs Kalkül vernünftiger macht?

  • Eine Anmerkung: Natürlich gibt es sowohl zwischen Itô als auch Stratonovich eine ganze parametrische Familie möglicher "interpolierender" Kalküle, aber ich glaube, dass diese beiden die einzigen sind, die relevant sind: Einer von ihnen führt zur Martingaleigenschaft und der andere man behält die klassische partielle Integrationsregel bei
Sie sollten jedes Modell als das sehen, was es ist: ein begrenztes Werkzeug, das manchmal richtig ist und manchmal nicht. Wann es falsch und wann es richtig ist, entscheidet die Natur für uns. Jedes bisher erfundene Modell ist fast immer falsch (und in den meisten Fällen nicht einmal berechenbar), aber das macht nichts. Entscheidend sind die Fälle, in denen sie richtig sind.
Dennoch ist es natürlich, nach einem tieferen theoretischen Argument zu suchen, das als Motivation für ein bestimmtes stochastisches Integral dient. Ich verstehe, in welchem ​​Sinne "jedes Modell falsch ist", aber angesichts des Modells möchte man einen bestimmten formalen Rahmen für dieses Modell haben. Ich frage mich, was dieser spezielle formale Rahmen in diesem Fall wäre.
Nun, es ist sicherlich nicht nur Mathematik, da ich speziell nach einer Begründung – aus physikalischen Gründen – für die eine oder andere Art von stochastischer Integration frage. Ihre Antwort ist, dass es über "Übereinstimmung mit dem Experiment" hinaus nichts gibt, und vielleicht ist das richtig, und vielleicht gibt es keine tiefgreifende Rechtfertigung für die Verwendung des einen oder anderen stochastischen Integrals, aber dennoch denke ich, dass die theoretische Übung der Suche nach einer Motivation die ist macht es vorzuziehen (in einem intuitiven nicht-formalen Sinne), entweder Itô- oder Stratonovich-Integral ist sehr interessant.
Die einzige "physikalische Rechtfertigung" ist, dass es mit einem Experiment übereinstimmt. Das machen wir in der empirischen Wissenschaft. Wir stellen keine Axiome auf, wir führen keine Beweise durch, wir verwenden Mathematik als Vorschlaghammer, um einen Pflock durch Daten aus Beobachtungen zu treiben. Wie mein erster Professor für Theoretische Physik in der allerersten Vorlesung sagte (ich übersetze etwas locker, um nicht so zu wirken, als ob ich die Philosophieabteilung nicht mag) "Wenn Sie das nicht mögen, gibt es die Tür ... werden Sie nicht wie das, was folgen wird.".
Ich bin völlig anderer Meinung. Die letzte Rechtfertigung ist natürlich, dass es mit dem Experiment übereinstimmt. Aber es gibt unzählige Ideen, Heuristiken und andere Modelle, die Aufschluss darüber geben, welche Modelle vernünftiger oder wahrscheinlicher sind. Die Langevin-Gleichung sollte natürlich mit Experimenten getestet werden, aber sie folgt mathematisch aus den Newton-Gleichungen und einigen anderen Überlegungen, also haben Sie hier ein Beispiel dafür, wie Sie eine Motivation finden können, ein Modell vorzuschlagen. Ich verlange keine Beweise. Ich habe dieses Wort nicht verwendet. Nur um zu sehen, welches Werkzeug für eine konkrete Situation bequemer ist.

Antworten (2)

Beide sind relevant, und "das Missverständnis, dass die Langevin-Gleichung die universelle stochastische Differentialgleichung für alle Arten von verrauschten Systemen ist, ist für die erwähnten Schwierigkeiten verantwortlich" * in Ihrem Beitrag.

Nehmen Sie die SDE aus Thomas 'Antwort,

d j d t = EIN ( j ) + C ( j ) L ( t )
wo L ( t ) ist der Rauschterm. Angenommen, wir können das Rauschen ausschalten, sodass wir nur das isolierte, deterministische System betrachten und annehmen, dass wir Folgendes erhalten:
d j d t = EIN ( j )
Es liegt also auf der Hand, dass der Rauschterm in diesem Fall nach Stratonovich interpretiert werden muss, da eine Itô-Interpretation die Dynamik des isolierten Systems verändern würde.

Oben hatten wir angenommen, wie man das tut ⟨ L ( t ) L ( t ' ) ⟩ = D δ ( t − t ' ) , aber selten werden tatsächliche physikalische Prozesse aus Dirac-Deltas hergestellt. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist Stratonovich von Wong-Zakai die einzig mögliche Interpretation hier (dh wenn L ( t ) ist allgemeiner, und wenn es sich einem Delta nähert, ist Stratonovich die Integrationsform, die entsteht).

Jetzt, indem wir das Rauschen ein- und ausschalten, sind wir zu dem Schluss gekommen, dass Stratonovich der einzige Weg nach vorne ist, aber ganz am Anfang habe ich gesagt, dass beide Formulierungen relevant sind. Was ist, wenn das Rauschen nicht getrennt werden kann?

Es ist wichtig, zwischen externen und internen Geräuschquellen zu unterscheiden. Wir haben uns mit dem Äußeren beschäftigt, aber was ist, wenn das Rauschen intern ist und nicht abgestellt werden kann, wie beispielsweise bei chemischen Reaktionen? Es ist nicht so, dass wir einen deterministischen Prozess mit einem aufgesetzten Rauschterm haben, wir haben einen stochastischen Prozess und man könnte argumentieren, dass sich die Mittelwerte deterministisch verhalten, aber auf keinen Fall kann man dann einfach ein Rauschen hinzufügen Begriff ohne weitere Begründung wieder an die Spitze: „Für das Eigenrauschen kann man nicht einfach eine nichtlineare Langevin-Gleichung oder eine Fokker-Planck-Gleichung postulieren und dann hoffen, deren Koeffizienten aus makroskopischen Daten zu bestimmen.“ Der grundsätzlichere Ansatz [der Erweiterung der Hauptgleichung] ist unverzichtbar."

* Alle Zitate in meiner Antwort stammen aus dem maßgeblichen Buch zu diesem Thema: Stochastic Processes in Physics and Chemistry von van Kampen, das ich Ihnen dringend empfehle, für detailliertere Erklärungen der Probleme und wie man damit umgeht, zu konsultieren.

Ok danke für die Antwort und den Hinweis. Der Titel ist in der Tat sehr suggestiv.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das vollständig verstehe. In der Grenze, in der ich das multiplikative Rauschen ausschalte, b → 0 In meiner Notation sind Ito- und Stratonovich-Prozesse gleich. Für additives Rauschen sind sie sowieso gleich.
Übrigens: In physikalischen Systemen sind Rauschen und Widerstand nicht unabhängig voneinander. Dies ist der Inhalt von Fluktuations-Dissipations(FD)-Beziehungen. Physiker mögen Stra besser, weil die FD-Beziehungen eine transparentere Form annehmen, aber es ist mir nicht klar, was mit Ito zu tun hat.

Sowohl die stochastischen PDEs von Ito als auch die von Stratonovich können verwendet werden, um eine Fokker-Planck-Gleichung abzuleiten. In der Tat für einfache eindimensionale Prozesse der Ito-Prozess

d x = a d t + b d W ( t )
entspricht dem Stratonovich-Prozess
d x = ( a − 1 2 b ∂ x b ) d t + b d W ( t )
Die Antwort ist dann, dass beide physikalisch vernünftig sind, für eine gegebene FP-Gleichung kann ich beide und Ito und einen Stratonovich-Prozess finden, der dies realisiert. Diese sind physikalisch gleichwertig.

Abgesehen davon neigen Physiker dazu, Stratonovich als das vernünftigere Schema zu betrachten, weil die FP-Gleichung diejenige ist, die abgeleitet werden kann, indem Momente genommen und "naive" Integration in Teilen genommen werden.

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