Simulation eines Quantennetzwerks harmonischer Oszillatoren

Nehmen wir an, ich habe ein System von N Partikel P 1 , … , P N ∈ R 3 (Wo N hier in der Größenordnung von 10.000). Nehmen wir außerdem an, wir haben einen Graphen G = ( v , E ) Beschreiben eines Netzwerks, in dem die Menge der Eckpunkte v ist die Menge der Teilchen und die Menge der Kanten E erfüllt | E | ≪ N 2 . Jede Kante rein G stellt eine Feder zwischen dem entsprechenden Partikelpaar dar, das sie zusammenhält. Ich werde auch jedes Teilchen geben P ich sein eigenes Skalarpotential v ich .

Die Wellenfunktion dieses Systems wird eine sehr große Dimension haben: Ψ ( X 1 , … , X N ; T ) . Wir können den Hamiltonoperator schreiben als

H = ∑ ich = 1 N ( − H 2 2 M ∇ ich 2 + v ich ( X ich ) ) + ∑ ( P ich , P J ) ∈ E C “ X ich − X J “ 2

Offensichtlich kann ich die Schrödinger-Gleichung für dieses riesige System nicht mit irgendeiner diskreten Standard-Simulationsmethode in der Zeit vorwärts bewegen, noch kann ich sogar eine diskretisierte Version davon aufschreiben Ψ aufgrund seiner großen Dimensionalität.

Gibt es Techniken zur Berechnung ungefährer Niedrigenergiezustände dieses Systems? Welche Näherungen sind hier sinnvoll? Kann man wahrscheinliche Positionen jedes Teilchens finden? P ich ?

Es kommt darauf an, was v ich Ist. Wenn v ich = 0 oder bilineare Funktion von X , dann ist das System lösbar - es ist nur ein weiterer mehrdimensionaler harmonischer Oszillator. Für andere v , möchten Sie eine gute nullte Näherung finden und sie durch Störungstheorie lösen.

Antworten (1)

Die Art und Weise, wie Sie es geschrieben haben, ist wahrscheinlich nicht das, was Sie aufschreiben wollten – Sie möchten es wahrscheinlich | | X ich − X J − C ich J | | 2 anstatt | | X ich − X J | | 2 , so dass die Federn eine stationäre Länge ungleich Null haben, so dass die Massen ohne äußere Kräfte eine Form haben. Wenn Sie dies nicht tun, ist die klassische Lösung mit der geringsten Energie, dass alle Teilchen genau übereinander liegen.

Aber ich werde es so lösen, wie du es geschrieben hast (umgekehrt ist es nicht viel schwieriger, aber es ist lästiger, die stationäre Konfiguration herauszufinden). In diesem Fall schreiben Sie das Frühjahrssemester als

∑ A ich J X ich X J

und Sie diagonalisieren A durch eine Drehung (dies ist möglich, da A symmetrisch ist).

j ich = R ich J X J

Wobei die Summe von j implizit ist und R eine Rotationsmatrix ist. Sie können das R mit jedem Diagonalisierungsalgorithmus berechnen, im symmetrischen Fall sind sie alle einfach. Dann haben Sie in Bezug auf y entkoppelte Oszillatoren

∑ λ ich j ich 2

Bei dem die λ ich sind die Eigenwerte von A, und jeder ist ein normaler harmonischer Oszillator, den Sie unabhängig lösen können. Um die erwarteten Werte der x-Werte zu finden, schreiben Sie die x-Werte in Bezug auf die y-Werte.

Wenn Sie eine Symmetrie haben, wie ein abstraktes Gitter von x, wo es nur endlich viele Klassen von Punkten gibt, die nicht durch Gittersymmetrie miteinander verbunden sind, können Sie die explizite Lösung sogar für ein unendliches Gitter schreiben, indem Sie die Fourier-Theorie verwenden. Dies ist der Ausgangspunkt für die Quantenfeldtheorie.

Am Ende werde ich diese Berechnung eher auf einer Mannigfaltigkeit als auf einer Mannigfaltigkeit durchführen R N , also sind Federn mit Nulllänge in Ordnung. Solche Faktorisierungen sind jedoch nicht möglich. Gibt es allgemeinere Tricks?
@JustinSolomon: Beschränken Sie die x auf eine Mannigfaltigkeit? Das ist ein ganz anderes Problem. Wenn Sie Einschränkungen haben, werden die kinetischen Terme nichtlinear, und dann ist die Linearität der Federn überhaupt nicht kompliziert, sondern die andere Nichtlinearität im kinetischen Term.
Ah ja, ich beschränke sie darauf, auf einem Verteiler zu sein. Da ich eine Simulation durchführe, ist die Mannigfaltigkeit eine triangulierte Oberfläche, und ich kann ihren Laplace-Operator aufschreiben, wenn das nützlich ist.
Ich glaube nicht, dass Sie das meinen, eine triangulierte Oberfläche. Dies ist nicht der richtige Weg, um eine Einschränkung durchzuführen. Sie sollten eine polynomische Annäherung an die einschränkende Funktion finden - triangulierte Oberflächen sind normalerweise nicht gut, um die Newtonschen Gesetze anzuwenden.
Leider ist dies unser Setup zum Guten oder zum Schlechten!
@JustinSolomon: Können Sie die Frage dann mit Ihrem Setup stellen --- das Hauptproblem bei der Anwendung von Newtons Gesetzen auf einen simplizialen Komplex besteht darin, dass der Komplex bereits an den Schnittpunkten der Schnittpunkte der Simplizes, wo es unendlich gibt, keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist Krümmung. Ihre Hauptfrage sollte lauten: "Wie machen Sie die Newonschen Gesetze auf einer triangulierten Mannigfaltigkeit so, dass sie die glatten Newtonschen Gesetze reproduzieren?" Das Problem, das Sie in Ihrer Frage stellen, ist trivial. Bitte stellen Sie eine andere Frage, denn es gibt wenig Zusammenhang zwischen dem, was Sie gefragt haben, und dem, was Sie wollen.
Simulation eines Quantennetzwerks harmonischer Oszillatoren
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v