Was passiert, wenn man zwei Thermal Harmonic Oscillators bei unterschiedlichen Temperaturen koppelt?

Betrachten Sie zwei identische anfänglich entkoppelte harmonische Oszillatoren mit Hamiltonoperatoren

H ^ = P 1 2 2 M + + M ω 2 X 1 2 2 ,

H ^ 2 = P 2 2 2 M + M ω 2 X 2 2 2 .

Der Hamiltonoperator des Gesamtsystems ist dann:

H ^ = H 1 + H 2

Jeder Oszillator beginnt in einem thermischen Zustand

ρ 1 = e − β 1 H 1 ,
ρ 2 = e − β 2 H 2 .
Der vollständige Zustand ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 ist stationär in Bezug auf die von generierte Evolution H .

Nach einiger Zeit schalten wir eine Wechselwirkung um, so dass der vollständige Hamiltonoperator des Systems gegeben ist durch

H ICH = H 1 + H 2 + λ 2 X 1 X 2 .

Die Frage ist: Was wird aus dem Staat? ρ ? Ich glaube nicht, dass es auf eine Temperatur thermalisieren wird β denn das würde entweder die Energie- oder die Entropieerhaltung verletzen. Es gibt jedoch verschiedene Möglichkeiten, was mit dem Staat passieren könnte, wie zum Beispiel:

  1. Jeder der Oszillatoren endet in einem thermischen Zustand, nachdem er den anderen verfolgt hat, aber es ist ein stark verschränkter Zustand.

  2. Der Zustand des Systems hält oszillierende Temperaturen, ohne zu einem Endzustand zu streben.

Welche davon ist genauer? Oder gibt es eine andere Möglichkeit, an die ich nicht gedacht habe?

"weil das entweder die Energie- oder die Entropieerhaltung verletzen würde", warum genau denkst du das? Was meinst du mit Entropieerhaltung? Sind eines oder beide dieser Systeme an etwas Externes gekoppelt, wie z. B. ein Wärmebad? Gibt es Verluste im System?
Warum denken Sie ρ würde nicht thermalisieren? Ich bin nur neugierig, ob Sie darauf näher eingehen könnten (wie es die Energie- oder Entropieerhaltung verletzen würde). Wir können die berechnen C v für jedes der QHO bei ihren jeweiligen Temperaturen. Und dann die ausgetauschte Wärme berechnen C v ( T − T ' ) , (summieren Sie sie und setzen Sie sie mit 0 gleich und finden Sie die endgültige Temperatur T ' ??
Was ich mit Entropieerhaltung meine: Dies ist ein isoliertes System, und die Zeitentwicklung ist einheitlich. Einheitliche Prozesse bewahren die Entropie.

Antworten (1)

Energie fließt spontan vom heißeren zum kälteren System, bis das gesamte kombinierte System bei einer neuen Temperatur ein Gleichgewicht erreicht. Die Gesamtenergie des Systems bleibt erhalten. Die Entropie wird zunehmen.

Bei adiabatischen Prozessen in der Quantenmechanik ist die Entropie konstant . Wie auf Wikipedia diskutiert , ist eine notwendige Bedingung für Adiabatizität, dass der Hamiltonian zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst pendeln muss, [ H ( T ) , H ( T ' ) ] = 0 für alle T , T ' .

Wir können prüfen, ob diese Bedingung für Ihren Fall verletzt wird. Lassen T eine Zeit sein, wenn λ = 0 , und lass T ' eine Zeit sein, wenn λ ≠ 0 . Dann (Einstellung ℏ = 1 So [ X , P ] = ich )

[ H ( T ) , H ( T ' ) ] = [ H 1 + H 2 , H 1 + H 2 + λ X 1 X 2 ] = λ ( [ H 1 , X 1 ] X 2 + X 1 [ H 2 , X 2 ] ) = − ich λ M ( P 1 X 2 + X 1 P 2 )
Es gibt also keinen Grund zu erwarten, dass die Entropie in diesem Szenario konstant bleibt, es sei denn, die Art und Weise, wie die Wechselwirkung eingeschaltet wird, wird sehr sorgfältig durchgeführt ( https://arxiv.org/abs/0910.0709 ).

Eine wichtige Feinheit, die auf der Wikipedia-Seite erwähnt wird, ist, dass zwischen der "Energieentropie" und der "von Neumann-Entropie" unterschieden wird. Die von Neumann-Entropie bleibt bei der einheitlichen Zeitentwicklung erhalten, die Energieentropie jedoch nicht, und letztere ist analog zur thermodynamischen Entropie außerhalb des Gleichgewichts (im Gleichgewicht stimmen diese beiden Definitionen der Entropie überein). Dies wird in diesem Papier ausführlicher ausgeführt: https://arxiv.org/abs/0806.2862 . Abschnitt III.A beschreibt ein Beispiel, das dem Ihren konzeptionell sehr ähnlich ist, aber noch einfacher: Ein Gas wird durch eine Trennwand auf einer Seite einer Box begrenzt, die dann entfernt wird.

Wie kann die Entropie zunehmen, wenn die Zeitentwicklung ein einheitlicher Prozess ist?
@Rick Ich habe der Antwort ein bisschen mehr hinzugefügt. Beachten Sie das in Ihrer Frage enthaltene Argument, dass die Entropie in der Quantenmechanik immer erhalten bleiben muss, würde einen Widerspruch zwischen Quantenmechanik und Thermodynamik implizieren.
Beachten Sie auch, dass ich davon ausgehe, dass wir hier die "Energieentropie" diskutieren (siehe en.wikipedia.org/wiki/Quantum_thermodynamics#Entropy ), die die relevanteste Größe für die Thermodynamik ist. Diese ist nur gleich der von Neumann-Entropie im Gleichgewicht.
Sie können die Begriffe der klassischen Thermodynamik wiedererlangen, wenn Sie ein externes System betrachten und seine Freiheitsgrade verfolgen. Dies führt zu einer nicht einheitlichen Zeitentwicklung im Subsystem, die eine Vermischung erzeugt. Es kann auch Zeitabhängigkeiten vom effektiven Hamiltonian für Subsysteme erzeugen, was der Fall wäre, den Sie in Ihrer Antwort behandeln würden.
Bezüglich Ihres Beweises, dass der Hamiltonoperator zu unterschiedlichen Zeiten nicht mit sich selbst pendelt, ist der anfängliche Hamiltonoperator des Systems in diesem Fall völlig irrelevant. Ich könnte einfach das System initiieren, das einen Hamilton-Operator hat, der durch gegeben ist H 1 + H 2 + λ 2 X 1 X 2 jederzeit. Der Grund, warum ich über den anfänglichen Hamilton-Operator gesprochen habe, war, eine physikalische Interpretation für die Zustände zu geben ρ 1 Und ρ 2 . Dies macht die von Ihnen präsentierte "keine Entropieerhaltung" ungültig.
@Rick Ich glaube, ich kann dir nicht helfen, tut mir leid. Ich denke, Ihnen muss ein Stück in der Art und Weise fehlen, wie Sie Ihr Beispiel beschreiben, es muss eine Spur über einem Wärmebad oder etwas geben, das die Änderung der Entropie erklärt. Aber vom Standpunkt der Thermodynamik (die die Quantenmechanik respektiert) ist es ziemlich klar, dass die Entropie zunehmen muss, wenn Energie in Form von Wärme vom heißen System zum kalten System fließt.
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