Wie „liest“ man die Temperatur eines abstrakten Systems?

Wie kann ich den Parameter Temperatur interpretieren T , wenn mir die Beschreibung des Systems nicht durch die Zustandsgleichung gegeben wird, E ( S , v   ) oder S ( E , v   ) usw.

In vielen Systemen ist es sinnvoll, sie selbst als "Energie" zu betrachten, zB wenn die Entropie so ist, dass T stellt im Wesentlichen die mittlere kinetische Energie von Teilchen dar. Die allgemeine Definition geht wie

1 T = ( ∂ S ( E , v   ) ∂ E ) v .

Sehr oft, besonders wenn ich über Phasenübergänge lese, Beispiele für Systeme mit kritischen Exponenten und so weiter, sprechen sie normalerweise über den Parameter T und eine zugehörige kritische T C ohne Rücksicht auf ein bestimmtes System. Es gibt normalerweise etwas abstrakte freie Energie F , die abstrakte Mengen hervorbringt. Oder in der Boltzman-Verteilung und abgeleiteten Größen wird oft etwas aktiviert, wenn der Wert von k T einen systemspezifischen Energiewert einholt E 0 . Und es wird komplizierter, wenn es eine QFT-ähnliche Form annimmt.

Wie hoch ist die Temperatur in einer allgemeinen Umgebung?

Wie lese ich solche Dinge und was muss ich beim Lesen solcher Texte beachten?

Du hast die Antwort geschrieben. Dies ist die Definition von T . Im Ising-Modell. zum Beispiel macht es keinen Sinn, von "durchschnittlicher kinetischer Energie der Spins" oder dergleichen zu sprechen. Ich würde sagen, dass eine gute Möglichkeit, in diesem Fall über die Temperatur nachzudenken, lautet: "Wie weit über den Grundzustand kann ich hinausgehen", was ungefähr gleichbedeutend ist mit "Wie viel Energie kann ich bezahlen, um etwas Entropie zu kaufen"?
Könnten Sie die Sätze in Klammern näher erläutern? Warum "kann ich gehen"? Kann ich mit was gehen? Ich habe eine Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Energieniveaus eingenommen werden. Und warum „bezahlen“? Warum Entropie "kaufen"? Will ich Entropie?
Systeme fließen in Richtung wahrscheinlicher Zustände, das heißt - Zustände, die eine große Anzahl von Mikrozuständen haben. Die (logarithmische) Anzahl der Mikrozustände ist die Entropie. Systeme "wollen" also in Zuständen mit hoher Entropie sein (="gehen zu"), aber das bedeutet normalerweise Zustände mit hoher Energie. Der Kompromiss zwischen Entropie und Energie ist genau die Temperatur. Beim Verdampfen von Flüssigkeit hat beispielsweise der Dampfzustand eine höhere Entropie, aber auch eine höhere Energie. Daher auf niedrig T das System ist liquide, aber wann T hoch genug ist, bevorzugt das System einen höheren energetischen Zustand (="Pay"), weil seine Entropie höher ist.
@yohBS: Ihre Erklärung ist in Bezug auf das System formuliert, das nicht im Gleichgewicht ist. Würden Sie sagen, man sollte die Bedeutung der Temperatur betrachten und beschreiben? T funktional, dh darin, dass es der Wert ist, der sich bei gekoppelten Teilsystemen ausgleicht, wenn das Gesamtsystem ins Gleichgewicht kommt?
Ich habe eine echte, ausführliche Antwort gepostet. Hoffe, das erledigt die Arbeit.
Persönlich denke ich, dass Sie ziemlich weit kommen können, wenn Sie nur an die Temperatur denken, wie sie durch die Gleichung in Ihrer Frage definiert ist: 1 / T sagt Ihnen, wie stark sich die Entropie erhöhen würde, wenn Sie die Energie (eines Teils) Ihres Systems um a erhöhen würden kleine Menge, während das Volumen (und alle anderen makroskopischen Variablen wie die chemische Zusammensetzung) konstant gehalten werden. Aber natürlich hilft es auch, die statistisch-mechanische Erklärung dafür zu verstehen, die in den anderen Antworten gegeben wird.
@Nathaniel: Nun, 1 T = ( ∂ S ( E , v   ) ∂ E ) v ist eine Definition der statistischen Mechanik, oder?
@NickKidman Ich denke, das hängt davon ab, ob S die statistische Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder die phänomenologische Entropie von Clausius, Kelvin et al . darstellt . Die Temperatur wurde durch diese Formel definiert, bevor die statistische Mechanik erfunden wurde - aber natürlich funktioniert es so oder so :)

Antworten (3)

Die grundlegendste Definition der Temperatur leitet sich aus dem nullten Hauptsatz der Thermodynamik ab .

Das nullte Gesetz erklärt das thermische Gleichgewicht zu einer Äquivalenzbeziehung, und daher können wir jede Äquivalenzklasse mit einer Zahl kennzeichnen, die wir Temperatur nennen. Oder weniger mathematisch ausgedrückt, die Temperatur ist eine physikalische Größe, die jedem thermodynamischen System zugeordnet ist, sodass zwei beliebige Systeme mit derselben Temperatur bei Kontakt im thermischen Gleichgewicht bleiben würden.

Die genaue Zuordnung der Temperatur zu einem System wird als Temperaturskala bezeichnet. Früher gab es mehrere Skalen, die meisten basierten auf den thermischen Eigenschaften einer bestimmten Substanz. Dann entwickelte Kelvin eine Skala , die ausschließlich auf thermodynamischen Prinzipien basiert, die wir „absolute Skala“ nennen.

Interessante Punkte! Ich frage mich, ob das nullte Gesetz innerhalb der Thermodynamik nicht abgeleitet werden kann. Wissen Sie (falls nein), warum nicht? In Bezug auf Ihren letzten Absatz denke ich, dass die Kelvin-Definition und das Absolute nicht erforderlich sind, wenn Sie (über die statistische Mechanik) die absolute Entropie berechnen können.
@Nick Kidman: Das nullte Gesetz ist "null", weil es nach dem ersten und zweiten Gesetz formuliert wurde, als die Menschen erkannten, dass es in ihrem Verständnis implizit ist, aber dennoch ein unabhängiges und grundlegendes Gesetz. Also nein, Sie können es nicht innerhalb der Thermodynamik ableiten. Für "absolute Skala" oder thermodynamische Skala gibt es mehrere Definitionen, die alle gleichwertig sind. Kelvins Version ist jedoch die erste.

Bei Stat Mech geht es darum, Durchschnittswerte mit dem richtigen Maß zu nehmen.

Das einfachste Maß ist das mikrokanonische Maß (Ensemble), bei dem Sie davon ausgehen, dass das System eine gegebene Energie hat und dass alle Zustände in dieser Energiehülle gleich wahrscheinlich sind. Die Annahme, dass die Energie bekannt ist, bedeutet im Grunde, dass das System keine Energie mit einem Bad austauscht.

Ein viel nützlicheres Maß ist das kanonische Maß, bei dem Sie davon ausgehen, dass die durchschnittliche Energie bekannt ist, das System jedoch möglicherweise Energie mit einem Wärmebad austauscht. Es kann gezeigt werden (und es wird hier gezeigt ), dass, wenn Sie davon ausgehen, dass in jeder Energieschale die Zustände gleich wahrscheinlich sind, diese Wahrscheinlichkeit proportional zu ist e − E / k B T .

Das zeigt dir das T misst das Gewicht, das Zuständen gemäß ihrer Energie gegeben wird. Wenn T hoch ist, wird das Gewicht eines Zustands mit einer gegebenen Energie höher, und wann T niedrig ist, wird es niedriger. Es ist leicht ersichtlich, dass z T → ∞ alle Zustände werden gleich wahrscheinlich und für T → 0 nur der/die Grundzustand(e) wird/werden gezählt.

Sie könnten dann fragen: "Warum befindet sich das System dann nicht fast immer im Grundzustand? Es ist der wahrscheinlichste!". Hier kommt die Entropie ins Spiel. Per Definition der Entropie S ( E ) , die Anzahl der Zustände mit einer Energie E Ist e S ( E ) / k B , und es ist eine schnell ansteigende Funktion von E . Wenn Sie also über Energien mitteln , sollten Sie das Maß verwenden

e − β E e S ( E ) / k B = e − β ( E − T S )
weil höhere Energien eine viel größere Anzahl von Zuständen auf der Schale haben. Das meinte ich, als ich das sagte T ist ein Maß dafür, "wie viel Energie ich zahlen kann, um etwas Entropie zu kaufen" - Zustände mit hoher Entropie sind aus Gründen der Zustandszählung wahrscheinlicher, aber aus energetischen Gründen weniger wahrscheinlich. T ist ein Maß für das relative Gleichgewicht dieser beiden.

Auch Ihr Vorschlag zur funktionalen Definition T als "das Ding, das für zwei Systeme in thermischem Kontakt gleich ist" ist großartig und wird tatsächlich in diesem Lehrbuch verwendet , das eine gründliche, aufschlussreiche Einführung in "was ist Temperatur" bietet. Ich kann es Anfängern sehr empfehlen.

So ∫ Zustände e − β E = ∫ Energien e − β E Ω ( E ) = ∫ Energien e − β E e S = ∫ Energien e − β F , Wo Ω ( E ) ist das Phasenraumvolumen mit Energie E ? Ich sehe das E − T S muss minimiert werden, aber da ich die untere Grenze dieses Ausdrucks nicht sehe, ohne es zu wissen E oder S Ich weiß nicht, wie ich es minimieren kann. Auch wenn Sie das kanonische Ensemble mit einem richtigen Bad nehmen, dann können Sie nicht einfach wählen T . In diesem Fall gibt es keinen Kampf zwischen Energie und Entropie, da T wird nur den Wert nehmen, den es von außen haben muss.
Der Punkt ist, dass die Kopplung Ihres Systems an ein externes Bad zu einer Wahrscheinlichkeit führt, die wie folgt ist e − β E , für einige β . Dies ist die Definition von T , und ist der springende Punkt. Bis Sie dies gezeigt haben, wissen Sie nicht, dass "T nur seinen Wert nimmt" aus dem Bad, weil T ist nicht einmal definiert.
vergiss, was ich über f geschrieben habe. Es ist verwirrend und falsch. In dieser Formulierung ist die freie Energie gegeben durch F = − k B T Protokoll ⁡ Z = k B T Protokoll ⁡ ∑ ich e − β E ich , und die mittlere Energie wird durch Mittelung berechnet ⟨ E ⟩ = Z − 1 ∑ E ich e − β E ich = − ∂ β Protokoll ⁡ ( Z )
Ich verstehe nicht, wie "das ist die Definition von T ". Wie bestimmen Sie T aus diesem Formalismus, wenn er nicht als Entropieableitung bzgl. definiert ist E ? Und schließlich stimmst du dem mit dem Bad zu, T nimmt nur den Wert der Temperatur des äußeren Bades? Und was ist "verwirrend und falsch", ich weiß nicht, worauf Sie sich beziehen.
Wenn Sie Ihr System an ein Bad koppeln, erlauben Sie ihm tatsächlich, Wärme mit ihm auszutauschen. Das Gesamtsystem (Ihr System und das Bad) befindet sich im wahrscheinlichsten Zustand - dem mit der höchsten Entropie. Da die Gesamtentropie die Summe der Entropie des Bades und des Systems ist, ist die Gesamtentropie maximal, wenn
∂ S B A T H ∂ E = ∂ S S j S T e M ∂ E   .
Diese Menge ist definiert als 1 / T , und die Wahrscheinlichkeit, Ihr System in einer Energie zu finden E geht wie e − E / k T , wie man sieht, wenn man eine Taylor-Reihe erster Ordnung um das Maximum nimmt.

Ihre Definition ist die thermodynamische Definition der Temperatur. Die meisten Diskussionen über Phasenübergänge kommen aus der Sicht der statistischen Mechanik . In diesem Paradigma folgt die Definition der Temperatur aus der Definition der Entropie S = k B Protokoll ⁡ Ω ( E )

1 k T = D Protokoll ⁡ Ω ( E ) D E
Wo Ω ( E ) ist die Anzahl der Mikrozustände mit Energie E .

Wikipedia hat eine schöne Herleitung der Verbindung zwischen diesen beiden Ansätzen.

Danke für den Kommentar, die Definition ist mir bekannt. Ich weiß jedoch nicht, ob "die multiplikative Umkehrung der relativen Volumenänderung des Phasenraums mit der Energie" allzu hilfreich ist.
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