Unabhängige Systeme und Lagrangians

Wie wäre es mit Pfadintegralen? Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein System zwischen Zuständen entwickelt$|\phi_1\rangle$Und$|\phi_2\rangle$Ist

$$\langle \phi_2|\phi_1 \rangle =\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)$$

wo das Maß$\mathcal{D}\phi$geeignet definiert ist und die Aktion$S(\phi)$ist das Integral des Lagrange (über was auch immer die physikalischen Koordinaten sind).

Betrachten Sie zwei Systeme, die durch Zustände beschrieben werden$|\phi\rangle$Und$|\psi\rangle$, die unabhängig sind. Dann ist die Aktion

$$S(\phi,\psi)=S(\phi)+S(\psi)$$

Und die Wahrscheinlichkeit, zwischen zwei Konfigurationen zu wechseln, ist

$$\begin{align} \langle\phi_2,\psi_2|\phi_1,\psi_1\rangle&=\int_{(\phi_1,\psi_1)}^{(\phi_2,\psi_2)}\mathcal{D}\phi\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}(S(\phi)+S(\psi))\right)\\ &=\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)\int_{\psi_1}^{\psi_2}\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\psi)\right)\\ &=\langle \phi_2|\phi_1\rangle \langle \psi_2|\psi_2\rangle\\ \end{align}$$

Die Wahrscheinlichkeit ist also ein Produkt, wenn die Systeme unabhängig sind. Ich habe hier bestimmte Zustände ausgewählt, aber nimm$|\phi_i\rangle$ein System beschreiben$S_i$in der Konfiguration$C_{i1}$und ich denke, das bekommt, was Sie wollen.

Nun, Sie spezifizieren nicht die Art von Wahrscheinlichkeiten, von denen Sie sprechen. Daher beziehe ich mich auf die Tags und gehe davon aus, dass es sich um quantenmechanische (nicht statistische) Wahrscheinlichkeiten handelt. (Siehe die Bearbeitung am Ende)

Dann muss ich anmerken, dass Ihre probabilistische Definition von Unabhängigkeit nicht viel Sinn macht.

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Nun, gemäß den Kommentaren sollte ich sagen, dass es mir darum geht, dass diese Definitionen in ihrer Bedeutung unterschiedlich sind. Das erste ist die statistische Unabhängigkeit (und sollte für den Fall von QM verfeinert werden) und das zweite ist das Fehlen von Wechselwirkungen. Das Folgende ist als Hinweis auf die Quantenverschränkung als Tatsache zu verstehen, dass nicht wechselwirkende Systeme korreliert werden können.

Ende der Bearbeitung

Zunächst einmal glauben wir normalerweise, dass wir die Hilbert-Räume haben$\mathcal{H}_1$Und$\mathcal{H}_2$von zwei Systemen, dann ist der Hilbertraum für das zusammengesetzte System$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$. Dies ist unabhängig von der Interaktion zwischen den Systemen.

Als nächstes sprechen wir über die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand zu finden$|a\rangle$während es im Zustand ist$|b\rangle$(alle normalisiert) meinen wir normalerweise$|\langle a|b \rangle|^2$. Betrachten Sie nun den folgenden Zustand in$\mathcal{H}$:

$$|a\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\otimes|\alpha\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\otimes|\beta\rangle$$ Es gibt $0$Wahrscheinlichkeit, ein solches System im Staat zu finden $|1\rangle\otimes|\beta\rangle$während es gibt $0.5$Wahrscheinlichkeit, das erste System im Zustand zu finden $|1\rangle$Und $0.5$Wahrscheinlichkeit, das zweite System im Staat zu finden $|\beta\rangle$. Und ein solcher Zustand existiert unabhängig von den Wechselwirkungen zwischen den Systemen. Siehe Quantenverschränkung .

Außerdem können wir den Staat berücksichtigen

$$|a\rangle=|1\rangle\otimes|\alpha\rangle$$ für die Ihre Regel mehr oder weniger funktioniert.

Schließlich sehen wir, dass es Zustände von nicht interagierenden Systemen gibt, in denen Ihre probabilistische Gleichheit nicht gilt, sowie Zustände von interagierenden Systemen, in denen Ihre Gleichheit gilt. Es besteht also kein Zusammenhang zwischen dieser Gleichheit und der Unabhängigkeit der Systeme.

Richtig ist jedoch, dass die Übergangsamplituden (also Matrixelemente von$\exp(-iHt/\hbar)$) sind für unabhängige Systeme tatsächlich multiplikativ. Das ist, weil

$$\exp(-iHt)=\exp(-it(H_1\otimes 1+1\otimes H_2))=\exp(-it H_1\otimes 1)\exp(-it1\otimes H_2)\\ =\exp(-iH_1t)\otimes\exp(-iH_2t)$$ wirkt unabhängig auf die Komponenten des Tensorprodukts (siehe auch Levitophers Antwort für die Pfadintegralperspektive).

Was ist mit dem Gegenteil? Wir können nicht sagen, dass irgendein Matrixelement für das gesamte System das Produkt der Matrixelemente für die einzelnen Systeme ist, weil wir a priori die letzteren nicht haben. Wir müssen etwas anderes sagen, aber ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich es bequemer formulieren soll.

Bearbeiten Die Tags haben sich ein wenig geändert, aber wir können immer noch Dichtematrizen mit ähnlichen Eigenschaften erstellen (und so tun, als ob sie einigen Nichtgleichgewichtssituationen entsprechen). Ich denke, dass die Reinzustandsdichtematrix in Ordnung ist.

Für Gleichgewichtsdichtematrizen, nämlich$\rho=\exp(-\beta H)$es ist wahr, dass Wahrscheinlichkeiten für unabhängige Systeme durch das gleiche Argument wie für den Evolutionsoperator multipliziert werden. Dasselbe kann über euklidische Pfadintegrale erfolgen.

Was das Gegenteil betrifft, weiß ich die Antwort im Moment nicht.