Wie sagt QFT die Wahrscheinlichkeitsdichte voraus, ein Teilchen bei x zu finden?

Die erforderliche Amplitude ist eine Überlappung zwischen einem lokalisierten Teilchenzustand und einem Feldkonfigurationszustand.

Für den Fall eines freien Skalarfeldes hat Roman Jackiw in seiner Arbeit über Funktionale Darstellungen für quantisierte Felder die Berechnung der exakt benötigten Amplitude (Gleichung 2.14A ) durchgeführt.

Ich werde hier einige Details seiner Ableitung wiederholen und das Ergebnis in eine kohärente Zustandsbasis umwandeln, die meiner Meinung nach einer experimentellen Messung zugänglicher ist.

Im Schrödinger-Bild assoziieren wir einen Vektor$|\phi\rangle$im Hilbert-Raum zu jeder Feldkonfiguration. Bitte beachten Sie, dass alle folgenden Ausdrücke unendlich dimensionale Verallgemeinerungen des harmonischen Oszillators sind. (Die folgenden Berechnungen sind nicht streng, die Genauigkeit kann durch Gewichtung und Verschmierung verbessert werden, aber dies wird hier nicht getan).

Die Aktion des Feldoperators zum Zeitpunkt$t=0$auf den Konfigurationsvektoren ist gegeben durch:

$$\hat{\Phi}(x)|\phi\rangle = \phi(x)|\phi\rangle$$ ( $x$ist ein Vektor in drei Dimensionen)

Die Wirkung der kanonischen Impulse (at$t=0$) wird gegeben von:

$$\hat{\Pi}(x)|\phi\rangle = \frac{\delta}{\delta\phi(x)}|\phi\rangle$$ Für einen quadratischen Hamiltonoperator: $$\hat{H} = \int \mathrm{d}x \, \hat{\Pi}(x)^2 + \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\, \hat{\Phi}(x)\Omega(x,y) \hat{\Phi}(y)$$ ( $\Omega$kann als unendlich dimensionale Massenmatrix angesehen werden)

Das Vakuumfunktional hat die Form:

$$\Psi_{\Omega}(\phi) = \langle \phi | \Omega \rangle = \mathrm{det}^{\frac{1}{4}}\left({\frac{\Omega}{\pi}}\right) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\, \Phi(x)\Omega(x,y) \Phi(y)}$$ Dies ist eine unendlich dimensionale Verallgemeinerung der Vakuumwellenfunktion des harmonischen Oszillators.

In unendlichen Dimensionen ist ein Wellenfunktional mit einer anderen Massenmatrix orthogonal zum Vakuumwellenfunktional und zu all seinen angeregten Zuständen und gehört somit zu einem anderen Superselektionssektor. Die Beibehaltung einer allgemeinen Massenmatrix hat Vorteile, da sie in unendlichen Dimensionen eine ungefähre Behandlung schwach wechselwirkender Felder durch eine Bogoliubov-Transformation ermöglichen. Der Einfachheit halber werde ich jedoch mit einer diagonalen Massenmatrix fortfahren:

$$\Omega(x,y) \propto \delta(x-y)$$

(Das entsprechende Vakuum und sein Wellenfunktional werden bezeichnet mit:$|0\rangle$und$\Psi_{0}(\phi)$beziehungsweise). Außerdem werde ich mich nicht mit den unendlichen Normalisierungen beschäftigen.

In Analogie dazu sind die Operatoren für die Teilchenerzeugung und -vernichtung gegeben durch:

$$A(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\Phi} (x)+ i \hat{\Pi} (x))$$ $$A^{\dagger}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\Phi} (x) - i \hat{\Pi} (x))$$

Somit ist die erforderliche Amplitude gegeben durch:

$$\langle \phi | x\rangle = \langle \phi|A^{\dagger}(x)| 0\rangle> = \phi(x) \langle \phi|0\rangle = \phi(x) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \phi(x)^2}$$

Die Schrödinger-Darstellung eines kohärenten Zustands ergibt sich in Analogie zum harmonischen Oszillator:

$$\Psi_{\alpha}(\phi) = N e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, (\Phi(x) - \sqrt{2}\alpha(x))^2 }$$ und der kohärente Zustand ist gegeben durch:

$$|\alpha\rangle= \int \mathcal{D}\phi \Psi_{\alpha}(\phi) |\phi\rangle$$

(Die Integration erfolgt über alle Feldkonfigurationen). Das ist leicht zu sehen$|\alpha\rangle$ist ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators.

Somit erhalten wir:

$$\langle \alpha| x \rangle = \int \mathcal{D}\phi \Psi_{\alpha}(\phi) \langle \phi | x\rangle = \alpha(x)$$

In Quantensystemen, die durch kohärente Zustände von Feldtheorien beschrieben werden, ist die Funktion$\alpha (x)$wird üblicherweise als makroskopische Wellenfunktion bezeichnet. Die erforderliche Amplitude hat einen sehr einfachen Ausdruck in Bezug auf die makroskopische Wellenfunktion.

Interpretation der Ergebnisse

Die angeforderte Amplitude$\langle \phi | x\rangle$in Frage kommt eine Überlappung zwischen einer Feldkonfiguration$\phi$und ein Einzelteilchenzustand. Die berechnete Überlappung ist proportional zu$\phi(x) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \phi(x)^2}$. Dieses ebenfalls von Jackiw berechnete Ergebnis ist sinnvoll, da es proportional zur Feldstärke at ist$x$. Diese Amplitude wird jedoch im Allgemeinen klein sein, es sei denn, die Konfiguration$\phi$wird kulminiert$x$. Somit sollte diese Amplitude in der Praxis nur nützlich sein, wenn das System in einem konzentrierten Zustand herum ist$x$, beispielsweise in einem solitonischen Zustand. (Wenn ich mich um die Normalisierungen gekümmert hätte, wäre das Raumintegral des quadrierten Moduls des Ergebnisses automatisch normalisiert worden$1$).

Die letzte Berechnung sollte die Amplitude finden$\langle \alpha | x\rangle$, in einem kohärenten Zustand eher in einem Schrödinger-Zustand. Die vorletzte Gleichung ist nur der Basiswechsel zwischen der kohärenten Zustandsbasis und der Schrödinger-Basis. Das komplexe Feld$\alpha$heißt aus folgendem Grund makroskopische Wellenfunktion:

In einem nichtrelativistischen System, das durch ein komplexes Schrödinger-Feld beschrieben wird, ist der kanonische Impuls gleich der komplex Konjugierten des Feldes:$\hat{\Pi}(x)= \hat{\Phi}^{*}(x)$. Da müssen wir haben$[\hat{\Phi}(x), \hat{\Pi}(x')] = \delta(x-x')$, müssen wir das Feld als Vernichtungsoperator und seinen Impuls als Erzeugungsoperator interpretieren (nicht wie im relativistischen Fall, wo es sich um Kombinationen aus Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren handelt). In diesem Fall ist der Erwartungswert des Feldes in der kohärenten Zustandsbasis:

$$\langle \alpha| \hat{\Phi}(x) | \alpha \rangle = \langle \alpha| A(x) | \alpha \rangle = \alpha(x)$$ (Die Identität $A(x) |\alpha \rangle =\alpha(x)|\alpha \rangle$, gültig in der kohärenten Zustandsbasis, verwendet).

In relativistischen Systemen wie Strahlung oder relativistischen Plasmen können wir die Funktion noch nennen$\alpha(x)$eine makroskopische Wellenfunktion, obwohl die obige Argumentation nicht gültig ist.

Der Grund, warum ich Ihnen auch das Ergebnis auf der Basis eines kohärenten Zustands gegeben habe, ist, dass immer dann, wenn sich ein verteiltes System in einem kohärenten Zustand befindet (wie ein Bose-Einstein-Kondensat); die makroskopische Wellenfunktion ist eine messbare Größe.