Partikel aus Feldern holen: Normalisierungsproblem oder Lokalisierungsproblem?

Question

Partikel aus Feldern holen: Normalisierungsproblem oder Lokalisierungsproblem?

Sam Gralla

Die Beziehung zwischen Quantenfeldtheorie und Quantenmechanik scheint etwas sehr Seltsames zu sein. Es stört mich; vielleicht kann jemand helfen.

Ich werde ein freies Klein-Gordon-Feld in Betracht ziehen. In Standardbehandlungen (z. B. Peskin & Schroeder und Schwartz) sind die Ein-Teilchen-Impuls-Eigenzustände $| \vec{k} \rangle$ sind damit normalisiert

⟨ \vec{P} | \vec{k} ⟩ = 2 ω_{\vec{P}} (2 π)^{3} δ^{(3)} (\vec{P} - \vec{k}), 1 = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ω_{\vec{P}}} | \vec{P} ⟩ ⟨ \vec{P} | .

$\langle \vec{p} | \vec{k} \rangle = 2 \omega_{\vec{p}} (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{k}), \qquad 1 = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\vec{p}}}| \vec{p} \rangle \langle \vec{p} |.$ Nun, vorausgesetzt

⟨ {\vec{x}}^{'} | \vec{x} ⟩ = δ^{(3)} (x - x^{'})

$\langle \vec{x}' | \vec{x} \rangle = \delta^{(3)}(x-x')$ wie üblich folgt daraus

⟨ \vec{X} | \vec{P} ⟩ = \sqrt{2 ω_{\vec{P}}} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} .

$\langle \vec{x} | \vec{p} \rangle = \sqrt{2 \omega_{\vec{p}}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}.$ Nun kann man das ausrechnen (hier im Schrödinger-Bild; siehe Schwartz 2.76 oder P&S 2.42).

⟨ 0 | ϕ (\vec{X}) | \vec{P} ⟩ = e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} .

$\langle 0 | \phi(\vec{x}) | \vec{p} \rangle = e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}.$ Das soll das bedeuten

ϕ

$\phi$ erzeugt ein an Position lokalisiertes Partikel

\vec{x}

$\vec{x}$ . P&S sind bei den Details etwas zurückhaltend, aber Schwartz behauptet, dass die Berechnung impliziert

ϕ (\vec{X}) | 0 ⟩ = | \vec{X} ⟩ .

$\phi(\vec{x}) |0 \rangle = | \vec{x} \rangle.$ Aber das ist falsch, weil

⟨ \vec{x} | \vec{p} ⟩ \neq e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}

$\langle \vec{x} | \vec{p} \rangle \neq e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}$ mit den verwendeten Normalisierungskonventionen. Ich nehme an, es könnte mit einer seltsamen Normalisierung von wahr sein

| \vec{x} ⟩

$| \vec{x} \rangle$ , aber ich kann nicht sehen, was das sein könnte (und zumindest ist dies nicht im Text angegeben).

Selbst wenn dies funktioniert, scheint es äußerst seltsam, dass es eine relative Normalisierung zwischen den Ein-Teilchen-Zuständen der Feldtheorie und den Zuständen der relativistischen Ein-Teilchen-Quantenmechanik gibt. Man sollte in der Lage sein, die Korrespondenz zu wiederholen, damit die Normalisierung funktioniert, aber ich sehe nicht, wie. (Beachten Sie, dass die Normalisierungen in der nichtrelativistischen Grenze leicht übereinstimmen können $\omega \approx m$ , aber das ist nebensächlich. Auch wenn die vollständig relativistische Quantenmechanik inkonsistent ist [wie einige Texte ohne Referenz behaupten], zumindest die störungsbezogenen Korrekturen für $v \ll 1$ sollte aus der Feldtheorie erschließbar sein.)

[ Bearbeiten : Dies scheint über die Normalisierung hinauszugehen. Wir können ein Gefühl dafür bekommen, was für ein Zustand $\phi(\vec{x})|0\rangle$ ist durch die Berechnung seiner Wellenfunktion als Funktion von $\vec{x}'$ ,

⟨ {\vec{X}}^{'} | ϕ (\vec{X}) | 0 ⟩ = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{\vec{P}}}} e^{ich \vec{P} \cdot (\vec{X} - {\vec{X}}^{'})} .

$\langle \vec{x}' | \phi(\vec{x}) |0 \rangle = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec{p}}}} e^{i\vec{p} \cdot (\vec{x}-\vec{x}')}.$ Diese Wellenfunktion hat einen Höhepunkt (ich denke divergierend).

{\vec{x}}^{'} = \vec{x}

$\vec{x}'=\vec{x}$ , also ist das Teilchen in gewisser Weise auf zentriert

\vec{x}

$\vec{x}$ , aber es scheint ziemlich weit hergeholt zu sagen, dass es bei ist

\vec{x}

$\vec{x}$ (wie die Bücher). Ich würde so weit gehen zu sagen, dass die Behauptung falsch ist, da in der Quantenmechanik zu sagen, dass sich das Teilchen an einer bestimmten Position befindet, bedeutet, dass die Wellenfunktion dort eine Delta-Funktion ist. Ich schätze, die gleiche Sprache wird im Heisenberg-Bild verwendet, wenn Zweipunktfunktionen als Amplituden für Partikel bezeichnet werden, um sich von einem Raumzeitpunkt zu einem anderen auszubreiten. Dies erscheint in ähnlicher Weise falsch durch die herkömmliche Bedeutung von Amplitude als Überlappung zwischen zwei lokalisierten Zuständen. Weise Worte wären willkommen.]

Kosmas Zachos

Nun ja, der Zustand φ(x)|0> ist nicht nur eine delokalisierte ebene Welle in der x-Darstellung! Es ist ein bei x zentriertes Wellenpaket , wie es offensichtlich wäre, wenn Sie es explizit in die P&S-Superposition (2.41) schreiben würden. Sie können Ihre Frage bearbeiten/umgestalten. Perverserweise sind dies klassische Wellen mit Quantenkoeffizienten, hier sind alle |p> s in ihrem jetzt separaten Superselektionssektor. p und x sind entschieden klassische Parameter. Auf dieser Ebene gibt es also keine Quanteninterferenz! Die Verwendung von |x> Eigenzuständen ist übertrieben. Für kleine p sind sie ebenen Wellen nahe .... MS' Ausdruck ist unglücklich.

Kosmas Zachos

Es ist mir klar, dass Ihre "wie üblich" Normalisierung von <x'|x> = δ fehlerhaft ist, so asymmetrisch von der von <p|k> mit der einfachen, eigenwilligen Normalisierung, die Sie haben. Das ist die Quelle Ihrer Zwickmühlen. Wenn Sie Matts lustiger Definition von |x> nachgeben und Ihre Normalisierung ablehnen, dann ist dieser Zustand in der P&S-Sprache (2.41). Und seine Normalisierung ist (2.50) für t=0, also (2.52), konvergent, lokalisiert und seltsam. Der Punkt ist ... man benutzt das kaum! Experimente leben entschlossen im Energie-Impuls-Raum ...

Sam Gralla

Hmm... Ich schätze, wir stimmen darin überein, dass Matts Gesichtsausdruck unglücklich ist. Es scheint mir, dass die ganze Sprache von "erzeugt ein Teilchen an Position x" auch unglücklich ist (da das Teilchen delokalisiert ist). Aber auf jeden Fall habe ich jetzt ein viel besseres Gefühl dafür, was vor sich geht.

Kosmas Zachos

Verwandte 98711 .

SRS

Verwandt? physical.stackexchange.com/q/98711/localized-field-quanta

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Partikel aus Feldern holen: Normalisierungsproblem oder Lokalisierungsproblem?

Nun ja, der Zustand φ(x)|0> ist nicht nur eine delokalisierte ebene Welle in der x-Darstellung! Es ist ein bei x zentriertes Wellenpaket , wie es offensichtlich wäre, wenn Sie es explizit in die P&S-Superposition (2.41) schreiben würden. Sie können Ihre Frage bearbeiten/umgestalten. Perverserweise sind dies klassische Wellen mit Quantenkoeffizienten, hier sind alle |p> s in ihrem jetzt separaten Superselektionssektor. p und x sind entschieden klassische Parameter. Auf dieser Ebene gibt es also keine Quanteninterferenz! Die Verwendung von |x> Eigenzuständen ist übertrieben. Für kleine p sind sie ebenen Wellen nahe .... MS' Ausdruck ist unglücklich.
Es ist mir klar, dass Ihre "wie üblich" Normalisierung von <x'|x> = δ fehlerhaft ist, so asymmetrisch von der von <p|k> mit der einfachen, eigenwilligen Normalisierung, die Sie haben. Das ist die Quelle Ihrer Zwickmühlen. Wenn Sie Matts lustiger Definition von |x> nachgeben und Ihre Normalisierung ablehnen, dann ist dieser Zustand in der P&S-Sprache (2.41). Und seine Normalisierung ist (2.50) für t=0, also (2.52), konvergent, lokalisiert und seltsam. Der Punkt ist ... man benutzt das kaum! Experimente leben entschlossen im Energie-Impuls-Raum ...
Hmm... Ich schätze, wir stimmen darin überein, dass Matts Gesichtsausdruck unglücklich ist. Es scheint mir, dass die ganze Sprache von "erzeugt ein Teilchen an Position x" auch unglücklich ist (da das Teilchen delokalisiert ist). Aber auf jeden Fall habe ich jetzt ein viel besseres Gefühl dafür, was vor sich geht.
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Kosmas Zachos · Answer 1

Ich könnte auch meine Kommentare, die meisten gelöscht, in dieser Memo-Antwort sammeln.

Im Wesentlichen möchte QFT nicht, dass Sie sich Positionseigenzuständen im Stil von QM nähern. Der Eigenzustand des Impulsoperators, $|p\rangle$ , ist nicht das herkömmliche QM und hat auch nicht die gleiche Dimension. QFT ermutigt jedoch eindeutig nicht, einen fantastischen Positionsoperator zu suchen, der mit dem (P & S (2.33)) Aufzählungsoperator P konjugiert ist , den sie verwendet, und normalisiert eigenartig. Engel sollten sich zu Recht fürchten, dorthin zu treten.

Der entsprechende „fast“ lokalisierte konjugierte Zustand dazu $|p\rangle$ Ich werde anrufen

| \tilde{X} ⟩ \equiv ϕ (X) | 0 ⟩ = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{e^{- ich P \cdot X}}{2 ω_{P}} | P ⟩ .

$\bbox[yellow]{|\tilde{x~}\rangle \equiv \phi(x)|0\rangle=\int \frac{d^3{\mathbf p}}{(2\pi)^3} \frac{e^{-i{\bf p\cdot x}}}{2\omega_p} |p\rangle} ~.$

Schwartz bezeichnet dies unklugerweise als $|x\rangle$ , was dazu einlädt, ihn mit dem Standard-QM-Zustand zu verwechseln, der durch eine δ-Funktion auf x lokalisiert ist, den niemand verwendet, braucht oder will, wegen ärgerlicher Paradoxien der Art, die Sie haben. P&S verwenden weise die Proportionalitätskonstante und lassen die Dinge vage und eindrucksvoll – aber sie konnten Ihre Frage nicht verhindern! Es ist nur der einzigartige Ein-Teilchen-Zustand, der bei x zentriert ist , mit dieser Normalisierungseigenschaft.

Die Impulsdimension des QM $|x\rangle$ ist 3/2, während die von $|\tilde{x~}\rangle$ ist 1, das Gegenteil von QFT $|p\rangle$ verwenden wir im Labor.

Jetzt normalisieren sich P&S (2,50-2,52) effektiv $|\tilde{x~}\rangle$ , was ich lieber als umschreiben würde

⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (j) | 0 ⟩ = ⟨ \tilde{X} | \tilde{j} ⟩ = \frac{M}{4 π^{2} R} K_{1} (M R),

$\langle 0| \phi(x) \phi(y)|0\rangle=\langle \tilde{x~}|\tilde{y~}\rangle =\frac{m}{4\pi^2 r} K_1(mr),$ mit Impuls Dimension 2, in Ordnung, wo

r \equiv | x - y |

$r\equiv|{\mathbf x} -{\mathbf y}|$ , Und

K_{1}

$K_1$ ist der allgegenwärtige modifizierte Bessel (Basset) , der am Ursprung auf der Skala der Compton-Wellenlänge 1/ m scharf spitzt .

Trotz der milden Singularität am Ursprung, $K_1(x)\to 1/x$ als $x\to 0$ , es schneidet schnell ab für große Argumente x , $\sqrt{\pi/2x} ~e^{-x}$ . Also die Staaten $|\tilde{x~}\rangle$ sind nicht so vollständig bei x lokalisiert , wie eine δ-Funktion QM die Erwartung verdirbt, aber sie verlieren jegliche Unterstützung außerhalb von 1-2 Compton-Wellenlängen des fraglichen Teilchens und sind so gut wie lokalisiert. In der Abbildung dieser zeitgleichen Wellenpaket-Autokorrelationsfunktion ist r auf der Abszisse in Compton-Wellenlängeneinheiten angegeben:

Erinnern Sie sich daran, dass Streuexperimente effektiv im Impulsraum leben und Impulse und Energien klassischer Objekte erfassen – BB-Pellets auf dieser Ebene. (Die räumliche Information in den Detektoren ist nur ein klassisches geometrisches Mittel zur Bestimmung von Impulswinkeln.) Die QM-Interferenz wurde in diesem Stadium der Erkennung asymptotischer Zustände bereits von QFT und dem Wick'schen Theorem erledigt.

Die Staaten $|p\rangle$ sind praktisch klassisch: Sie kommunizieren/interferieren nicht miteinander, leben wie sie es tun in disjunkten Superselektionssektoren des Fock-Raums, vollständig entkoppelt. Also das Wellenpaket $|\tilde{x~}\rangle$ ist praktisch klassisch, und seine Quantennatur wird nur offensichtlich, wenn mit mehr Quantenfeldern gearbeitet wird. In Streuexperimenten kommt man nie dazu, diese kleine, subfermigroße Nichtlokalität zu untersuchen; aber wer weiß, in der frühesten Urknall-Kosmologie könnte man durchaus darüber nachdenken.

Diese Wellenpakete sind die wahren (Ein-Teilchen-) Konjugierten der Impuls-Eigenzustände (Überprüfung!), $\langle \tilde{x~}|p\rangle=e^{i{\mathbf x} \cdot {\mathbf p} }$ . Beachten Sie jedoch, dass dies lediglich eine Projektion einer einzelnen p- Komponente aus einem klassischen Wellenpaket ist – eine reine klassische Fourier-Analyse!

Verwandte 287759 .

Ja, es ist eine Standard-Fingerübung in den meisten QFT-Kursen, um den Studenten die Entkopplung bei raumähnlichen Trennungen zu versichern. Der von mir bereitgestellte PSE-Link ist jedoch freundlicher. Tony tappt nie in die qualifizierte Lokalisierungsfalle.
Danke ... Ich hatte das größtenteils aus Ihren Kommentaren herausgefunden, aber hoffentlich hilft die detaillierte Erklärung anderen.
Alles, um das gefürchtete Reeh-Schlieder-Theorem zu vermeiden ... alles!

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Sam Gralla

Kosmas Zachos

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