Darstellung der Bessel-Funktion des raumartigen KG-Propagators

Vorbemerkungen : In ihrem QFT-Text geben Peskin und Schroeder den KG-Propagator an (Gl. 2.50)

$$D(x-y)\equiv\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}e^{-ip\cdot(x-y)},$$

Wo$\omega_\vec{p}\equiv\sqrt{|\vec{p}|^2+m^2}$. Für leichte Trennungen können wir einen Rahmen wählen, wo$x-y$ist rein in Zeitrichtung und der Propagator kann in die Form (2.51) gebracht werden

$$D(x-y)=\frac{1}{4\pi^2}\int^\infty_m d\omega\sqrt{\omega^2-m^2}e^{-i\omega (y^0-x^0)} \tag{1}\label{timelike_prop},$$

wo ich die verwende$\text{diag }\eta=(-,+,+,+)$Konvention.

Nun hat man die folgende Integraldarstellung der modifizierten Bessel-Funktion ( http://dlmf.nist.gov/10.32.8 )

$$\begin{align} K_1(z) &= z\int^\infty_1 dt \sqrt{t^2-1} e^{-zt} \\ &= \frac{z}{m^2} \int^\infty_m dt \sqrt{t^2-m^2} e^{-zt/m}, \tag{2}\label{int_rep} \end{align}$$

wo wir zur zweiten Zeile gehen, indem wir die Integrationsvariable neu skalieren$t \to t/m$. Vergleichen$\eqref{timelike_prop}$mit$\eqref{int_rep}$schlägt vor

$$D(x-y)=\frac{m}{(2\pi)^2|y-x|}K_1(m|y-x|),$$

wobei wir die Zeittrennung in Bezug auf die Lorentz-Invariante geschrieben haben$i (y^0-x^0)=|y-x|$. (Anmerkung: Es gibt ein Problem in dem, was ich hier geschrieben habe, nämlich die integrale Darstellung$\eqref{int_rep}$gilt nur für$|arg z|<\pi/2$Und$|y-x|$liegt auf der imaginären Achse ($|arg z|=\pi$), aber ich denke, man könnte infinitesimal verschieben$z$von der imaginären Achse ab, um ein konvergentes Integral zu erhalten. Überprüfen Sie mich darauf.)

Wie auch immer, für raumartige Trennungen können wir einen Rahmen wählen, wo$y-x=\vec{y}-\vec{x}\equiv\vec{r}$. Durchführen der polaren Integrationen ergeben

$$D(x-y)=\frac{-i}{2(2\pi)^2 r}\int^\infty_{-\infty}dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Schließlich behauptet PS, dass das Nehmen eines Konturintegrals in der oberen Halbebene (wobei darauf zu achten ist, dass der Zweigschnitt bei + im vermieden wird) ergibt

$$D(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^2r}\int^\infty_m d\rho \frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}}, \tag{3}\label{spacelike_prop}$$ Wo$\rho\equiv-ip$.

Frage: Ich weiß vom Einstecken in Mathematica, dass der raumartige Propagator$\eqref{spacelike_prop}$kann auch als modifizierte Bessel-Funktion ausgedrückt werden$K_1$. Außerdem sind die Integrationsgrenzen von$\eqref{spacelike_prop}$Und$\eqref{int_rep}$sind sogar gleich. Ich sehe jedoch nicht, wie ich das raumartige Propagatorintegral transformieren soll$\eqref{spacelike_prop}$in Form von$\eqref{int_rep}$. Irgendwelche Ideen?

(Ich würde es vorziehen, wenn irgend möglich, die Integraldarstellung zu verwenden, die ich zitiert habe$\eqref{int_rep}$und eher für den zeitähnlichen Fall als für eine andere Darstellung der modifizierten Bessel-Funktion verwendet.)