Ableitung des Photonenpropagators

Als Originalposter dieser Frage denke ich, dass ich vielleicht helfen kann. Ich werde die gleiche Notation wie in der ursprünglichen Frage verwenden.

Ausgehend von der Gleichung

$$\left(-k^2g_{\mu\nu}+(1-\frac{1}{\xi})k_\mu k_\nu\right)D^{\nu\rho}(k)=i\delta^\rho_\mu\tag{1}$$

Wir machen den Ansatz

$$D^{\mu\rho}(k)=A g^{\mu\rho}+B k^\mu k^\rho. \tag{2}$$

Einsetzen dieses Ansatzes in die Gl.$(1)$wir bekommen

$$\left[-k^2 g_{\mu\nu}+\left(1-\frac{1}{\xi} \right)k_\mu k_\nu\right]\left[A g^{\nu\rho} +B k^\nu k^\rho\right]=i\delta^\rho_\mu.\tag{3}$$

(Dir fehlt der Faktor von$i$von der rechten Seite$(3)$in Ihrer Frage, aber ich werde es hier setzen.)

Was Sie tun müssen, ist nicht zu lösen$A$Und$B$durch Isolation, sondern vergleiche tatsächlich die Koeffizienten auf beiden Seiten von Gl.$(3)$. Erweitern Sie das Produkt und nach ein wenig Algebra sollten Sie ankommen

$$A=-\frac{i}{k^2},\quad B=\frac{i}{k^4}(1-\xi),$$

was Ihnen die Koeffizienten für die Umkehrung gibt$(2)$.

Da Sie Tensoren mit griechischen Indizes verwenden, möchte ich darauf hinweisen, dass die Konvention dies impliziert$\bar D_{\nu\lambda}(k)=Ag_{\nu\lambda}+Bk_\nu k_\lambda$sind technisch gesehen 16 Gleichungen, was mehr als genug ist, um sie zu isolieren$A$Und$B$. Wenn$g_{\nu\lambda}$ist die Metrik und$k_\nu$ein Impulstensor ohne Operatorwert ist, sollten beide Terme in der rechten Seite symmetrisch sein, was bedeutet, dass Sie höchstens 10 Gleichungen haben (weniger überbestimmt ist besser).

Theoretisch sollten Sie in der Lage sein, sich zu isolieren$A$Und$B$durch Eingabe der verschiedenen Komponenten von$g$Und$k$. Da ich nicht weiß, woraus diese Tensoren bestehen, kann ich da nicht helfen. Aber ich kann Ihnen sagen, dass es nicht darum geht, zu wenige Gleichungen zu haben (tatsächlich wäre ich verärgert, wenn ich zu viele Gleichungen hätte).