Masseloses Boson in 2D und sein (retardierter) Propagator

Die Propagatoren masseloser Bosonen sind innerhalb des Lichtkegels nur null, wenn die Anzahl der räumlichen Dimensionen ungerade und größer als 1 ist.

Die exakte Form des Propagators auf dem Lichtkegel, auch wenn er divergiert, kann man auf folgende Weise für beliebig viele Raumdimensionen bestimmen:

Verwenden Sie diesen Ausdruck, um den Propagator in d räumlichen Dimensionen aus dem 1-dimensionalen Fall abzuleiten mit,

$P_d{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a}\ P_1{(t,r)}$

Wo$~P{(t,r)}~$ist der Verbreiter, mit$~~a=(d-1)/2~$Und$~~s^2=t^2-r^2$

Für den wirklich geschätzten Klein-Gordon-Vermehrer wird dies zu:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2) J_o(ms)\ \right\}$

Wo${\cal H}(s^2)$ist die Heaviside-Stufenfunktion, die innerhalb des Lichtkegels 1 und außerhalb des Lichtkegels 0 ist. Im masselosen Fall wird daraus:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2)\ \right\}$

Die folgenden Grafiken, die die masselosen Fälle zeigen, stammen aus numerischen Simulationen:

Im Fall mit 1 Raumdimension sehen Sie die Heaviside-Stufenfunktion. Der 3d-Fall ist die erste Ableitung der Stufenfunktion. Der 5d-Fall ist die Ableitung 2. Ordnung der Sprungfunktion und so weiter.

Die Fälle mit gerader Dimension sind aufgrund der Ableitungen 1/2-ter Ordnung innerhalb des Lichtkegels ungleich Null.

Der Operator, der den d-dimensionalen Propagator vom 1-dimensionalen Propagator ableitet, ist in meinem Artikel hier abgeleitet: http://www.physics-quest.org/Higher_dimensional_EM_radiation.pdf in Abschnitt V.

Verwenden der Poisson-Darstellung der Bessel-Funktion$J_n(z) = \frac{(z/2)^n}{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)} \int_0^{\pi} \cos{(z\cos{\theta})} \sin^{2n}{\theta} d\theta$, können Sie die Konstante bestimmen..

In 3+1 d zum Beispiel können wir für eine raumähnliche Entfernung eine Lorentz-Transformation so machen, dass$r = x-y$rein räumlich ist, ist die Amplitude dann$D(x-y) \sim \int dp \frac{p}{\sqrt{p^2 +m^2}} e^{ipr} \sim \delta{(r)}$..(ich verwende Peskins Notation, vgl. Kap.2.4, Gl.(2.52))