Integral im nnn−dimensionalen euklidischen Raum

Question

Integral im nnn−dimensionalen euklidischen Raum

Oiale

Ich habe diese Frage in Mathematics Stack Exchange gestellt , aber leider gibt es noch keine Antwort. Ich reposte es, weil dieses Integral von QFT stammt und vielleicht hat es jemand hier schon einmal gemacht oder könnte mir helfen. Ich kopiere diesen Beitrag lediglich.

Ich möchte dieses Integral in berechnen $n$ -dimensionaler euklidischer Raum.

$ICH (X) = \int_{R^{N}} \frac{D^{N} k}{(2 π)^{N}} \frac{e^{ich (k \cdot X)}}{k^{2} + A^{2}},$ $I(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{d^n k}{(2\pi)^n}\frac{e^{i(k\cdot x)}}{k^2+a^2},$ Wo $k^2=(k\cdot k)$ , $k=(k_1,\ldots,k_n)\in\mathbb{R}^n$ , $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ , $a\in \mathbb{R}$ .

Ich habe dieses Integral für gemacht $n=3$ durch Kugelkoordinaten und Residuensatz. Ich habe

$ICH (R) = \frac{1}{4 π R} e^{- A R},$ $I(r)=\frac{1}{4\pi r}e^{-ar},$ Wo $r=|x|$

Aber in $n$ -Dimensionen Ich bin bei der Verwendung von sphärischen Koordinaten gescheitert , weil ich es noch nie zuvor getan habe. Ich sehe auch, dass dieses Integral eine Fourier-Transformation von ist $\frac{1}{k^2+a^2}$ , aber auch hier bin ich gescheitert, weil ich in meinen Nachschlagewerken kein Fourier-Paar finden kann.

Wenn mich jemand bei dieser Integration anleiten könnte, wäre das großartig.

Benutzer3657

Hinweis: Fourier-Transformation.

xxxxx

@William Wie Sie sehen können, erwähnte er es: "Ich sehe auch, dass dieses Integral eine Fourier-Transformation von <...> ist, aber ich bin auch hier gescheitert, weil ich in meinen Nachschlagewerken kein Fourier-Paar finden kann."

Benutzer3657

@xxxxx: Ah, ja, hätte genauer lesen sollen.

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Integral im nnn−dimensionalen euklidischen Raum

@William Wie Sie sehen können, erwähnte er es: "Ich sehe auch, dass dieses Integral eine Fourier-Transformation von <...> ist, aber ich bin auch hier gescheitert, weil ich in meinen Nachschlagewerken kein Fourier-Paar finden kann."

Valter Moretti · Answer 1

ACHTUNG: Die Funktion ist nicht absolut integrierbar für $n>1$ , also hängt das Integral stark davon ab, wie Sie es berechnen, wenn Sie die Integration in iterierte Integrale aufteilen.

Verwenden Sie stattdessen Zylinderkoordinaten. $k = (z, \vec{r})$ , Wo $\vec{r} \in \mathbb R^{n-1}$ Und $z\in \mathbb R$ . Sie haben diesen Weg, vorausgesetzt, dass $x$ entlang geleitet wird $z$ :

ICH (X) = \frac{1}{(2 π)^{N}} \int_{R^{N - 1}} D \vec{R} \int_{R} D z \frac{e^{ich | X | z}}{{\vec{R}}^{2} + z^{2} + A^{2}} = \frac{ω_{N - 1}}{(2 π)^{N}} \int_{0}^{+ \infty} D R \int_{R} D z \frac{e^{ich | X | z} R^{N - 2}}{R^{2} + z^{2} + A^{2}}

$I(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^{n-1}} d\vec{r} \int_{\mathbb R} dz \frac{e^{i|x|z}}{\vec{r}^2 + z^2 +a^2}=\frac{\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \int_{\mathbb R} dz \frac{e^{i|x|z}r^{n-2} }{r^2 + z^2 +a^2}$ So:

ICH (X) = \frac{2 ω_{N - 1}}{(2 π)^{N}} \int_{0}^{+ \infty} D R \int_{0}^{+ \infty} D z \frac{R^{N - 2} \cos (| X | z)}{R^{2} + z^{2} + A^{2}}

$I(x) = \frac{2\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \int_0^{+\infty} dz \frac{r^{n-2}\cos(|x|z) }{r^2 + z^2 +a^2}$ Wo

ω_{n - 1} = \frac{2 π^{(n - 1) / 2}}{Γ ((n - 1) / 2)}

$\omega_{n-1} = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)}$ ist das Maß für die Oberfläche der Einheitskugel in

R^{n - 1}

$\mathbb R^{n-1}$ .

Das interne Integral ist in mehreren Büchern zu finden, zB Identität 3.723(2) im Buch Gradshteyn - Ryzhik (siebte Auflage). Um es auszuführen, hat man:

ICH (X) = \frac{π ω_{N - 1}}{(2 π)^{N}} \int_{0}^{+ \infty} D R \frac{R^{N - 2} e^{- | X | \sqrt{R^{2} + A^{2}}}}{\sqrt{R^{2} + A^{2}}}

$I(x) = \frac{\pi\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \frac{r^{n-2}e^{-|x|\sqrt{r^2 +a^2}} }{\sqrt{r^2 +a^2}}$ Das verbleibende Integral, das zum Integrieren übergeht

d (r^{2} / a^{2})

$d(r^2/a^2)$ , kann in Form von Bessel-Funktionen berechnet werden

K_{ν}

$K_\nu$ unter Verwendung der Identität 3.479 (1) im Buch Gradshteyn - Ryzhik (siebte Ausgabe).

Bitte überprüfen Sie alles, da ich wie immer meinen Berechnungen nicht traue!

Danke schön! Ich habe Ihre Berechnungen überprüft und alles ist in Ordnung.

Integral im nnn−dimensionalen euklidischen Raum

Oiale

Benutzer3657

xxxxx

Benutzer3657

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Valter Moretti

Oiale

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