Problem mit Schleifenintegral (HQET)

Question

Problem mit Schleifenintegral (HQET)

jkb1603

Ich bin auf das Integral gestoßen:

\int_{0}^{\infty} D X [X^{2} - ich X A + C]^{N - \frac{D}{2}} e^{- B X},

$\int_0^{\infty}dx [x^2-ixa+c]^{n-\frac{d}{2}}e^{-bx},$

Wo $n = 1,2 ; a,b,c,d \in \mathbb{R}; b,d > 0$ . Dieses Integral sollte einige Divergenzen für enthalten $d \rightarrow 4$ (für $c=0$ ). Ich denke, man muss es als eine Kombination von Gamma-Funktionen schreiben können.

GiorgioP

Ist

d

$d$ eine reelle Zahl?

jkb1603

Ja ist es. Verzeihung. Ich habe es in der Frage korrigiert.

Antworten (2)

Problem mit Schleifenintegral (HQET)

Zachary · Answer 1

Ich beginne zunächst damit, das Quadrat zu vervollständigen und den Binomialsatz zweimal anzuwenden, bevor ich den resultierenden Ausdruck vereinfache. Lass uns gehen.

\begin{aligned} ICH & = \int_{0}^{\infty} (X - ich A X + C)^{N - \frac{D}{2}} e^{- B X} D X \\ = \int_{0}^{\infty} {[{(X - \frac{ich A}{2})}^{2} + \frac{A^{2} + 4 C}{4}]}^{N - \frac{D}{2}} e^{- B X} D X \\ = \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{N - \frac{D}{2}} (\binom{N - \frac{D}{2}}{k}) {(X - \frac{ich A}{2})}^{2 k} {(\frac{A^{2} + 4 C}{4})}^{N - \frac{D}{2} - k} e^{- B X} D X \\ = \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{N - \frac{D}{2}} \sum_{M = 0}^{2 k} (\binom{N - \frac{D}{2}}{k}) (\binom{2 k}{M}) {(\frac{A^{2} + 4 C}{4})}^{N - \frac{D}{2} - k} {(- \frac{ich A}{2})}^{2 k - M} X^{M} e^{- B X} D X \\ = \sum_{k = 0}^{N - \frac{D}{2}} \sum_{M = 0}^{2 k} (\binom{N - \frac{D}{2}}{k}) (\binom{2 k}{M}) {(\frac{A^{2} + 4 C}{4})}^{N - \frac{D}{2} - k} {(- \frac{ich A}{2})}^{2 k - M} \int_{0}^{\infty} X^{M} e^{- B X} D X \\ = \sum_{k = 0}^{N - \frac{D}{2}} \sum_{M = 0}^{2 k} (\binom{N - \frac{D}{2}}{k}) (\binom{2 k}{M}) {(\frac{A^{2} + 4 C}{4})}^{N - \frac{D}{2} - k} {(- \frac{ich A}{2})}^{2 k - M} \frac{M!}{B^{M + 1}} \end{aligned}

$\begin{align} I&=\int_0^\infty (x-iax+c)^{n-\frac{d}{2}} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \left[\left(x-\frac{ia}{2}\right)^2+\frac{a^2+4c}{4}\right]^{n-\frac{d}{2}} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}} {n-\frac{d}{2}\choose k} \left(x-\frac{ia}{2}\right)^{2k} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m} x^m e^{-bx}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m} \int_0^\infty x^m e^{-bx}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m}\frac{m!}{b^{m+1}} \\ \end{align}$ Nachdem wir Wolfram Alpha verwendet haben, um die innere Summe zu vereinfachen, erhalten wir

\begin{aligned} ICH & = e^{- ich A B / 2} \sum_{k = 0}^{N - \frac{D}{2}} \frac{Γ (2 k + 1, - \frac{ich A B}{2})}{B^{2 k + 1}} (\binom{N - \frac{D}{2}}{k}) {(\frac{A^{2} + 4 C}{4})}^{N - \frac{D}{2} - k} \end{aligned}

$\begin{align} I&= e^{-iab/2}\sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}} \frac{\Gamma\left(2k+1, -\frac{iab}{2}\right)}{b^{2k+1}} {n-\frac{d}{2}\choose k} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \\ \end{align}$

Danke für deine Antwort! Ich habe aber eine Frage, weil ich vergessen habe, das ausdrücklich zu erwähnen $d$ ist im Allgemeinen keine ganze Zahl. In dieser Formel wäre die Summe also nicht definiert, oder? Diese Ableitung sollte jedoch auch funktionieren, wenn Sie die Binomialreihe verwenden (siehe Wiki)?

Mike Stein · Answer 2

Ich sehe nicht ein, warum es zu Abweichungen kommen sollte $d=4$ seit (das nehme ich an $b>0$ ) der Ausdruck $x^2−iax+c$ ist niemals null auf das wirklich Positive $x$ Achse --- also besteht keine Gefahr, irgendwo im Integral durch Null zu teilen. Wenn wir faktorisieren $x^2-iax+c= (x-\alpha)(x-\beta)$ dann verhält sich das Integral nur dann schlecht, wenn einer der Zweige auf zeigt $x=\alpha$ oder $x=\beta$ treffe den Endpunkt bei $x=0$ , oder wenn sie bei gleichzeitigem Kneifen der Kontur gleich werden.

Ah ja. Ich habe die Konstante eingegeben $c$ für Allgemeinheit. Eigentlich suche ich das Integral mit $c=0$ . Dann sollte es bei divergieren $d=4$ . Rechts?

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GiorgioP

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