Vielleicht sollte diese Frage in der Mathe-Community gestellt werden, aber ich denke, dass ich aufgrund des konkreten Beispiels, das ich zitieren werde, hier einen besseren Einblick in meine Zweifel bekommen könnte.
Warum können wir also (mathematisch) zwei unterschiedliche Ergebnisse erhalten, je nachdem, ob wir uns bei der Berechnung eines Integrals dafür entscheiden, einen Pol zu umgehen oder zu konturieren? Das offensichtlichste Beispiel ist die Feynman-Vorschrift für QFT und verwandte Berechnungen.
Ich weiß, dass die meisten Integrale, für die Konturintegrationstechniken nützlich sind, nicht existieren, und in diesen Fällen geben wir ihnen „nur“ eine quantitative Bedeutung (nennen Sie es den Cauchy-Hauptwert, wenn Sie möchten). kann jedoch immer noch nicht intuitiv oder formal verstehen, was den Unterschied in den Werten verursacht, die aus verschiedenen Konturwahlen berechnet wurden.
Dies ist einfach eine Folge des Satzes von Cauchy Goursat und des Residuensatzes : Der erste sagt Ihnen, dass ein Integral unter einer Homotopie einer Kontur invariant ist, es sei denn , der Bereich zwischen einer Kontur und ihrem homotopen Bild enthält eine neue Singularität; die zweite sagt Ihnen, dass sich das Integral um ändert multipliziert mit dem Rest jedes neuen Pols, der in eine Homotopie eingeschlossen wird, solange die Kontur keine Verzweigungspunkte oder Querverzweigungsschnitte enthält.
Der Zwischenfall, der zum Cauchy-Hauptwert führt, liegt vor, wenn die Kontur genau durch den Pol geht; dieses Verhalten kann verstanden werden, indem die Kontur durch einen halbkreisförmigen Radiuseinschnitt nach innen "eingedrückt" wird dem Pol auszuweichen und dann die Grenze der expliziten Berechnung der Kontur auf diesem Halbkreis als auszuwerten .
Bezüglich der physikalischen Bedeutung all dieser Variationen muss man sich die physikalischen Annahmen, die den Operationen zugrunde liegen, von Fall zu Fall im Detail ansehen, um diese Bedeutung zu bestimmen.
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