Spinor-Integration

Question

Spinor-Integration

Johannes

Ich lerne On-Shell-Methoden für Integrale mit einer Schleife aus diesem Artikel: Schleifenamplituden in der Eichtheorie: moderne analytische Ansätze von Britto. Beginnend mit Formel (18) wird die Spinorintegration erklärt. Man schreibt den Schleifenimpuls zunächst als

(l)_{A \dot{A}} = T λ_{A} {\tilde{λ}}_{\dot{A}},

$(l)_{a\dot{a}}=t\lambda_a\tilde{\lambda}_\dot{a},$ Wo

t \in R^{+}

$t\in \mathbb{R}^+$ Und

λ

$\lambda$ ,

\tilde{λ}

$\tilde{\lambda}$ sind Spinoren mit

\tilde{λ} = \bar{λ}

$\tilde{\lambda}=\bar{\lambda}$ . Warum kann ich schreiben

l

$l$ auf diese Weise?

Ich kenne die Zerlegung $p=\lambda\tilde{\lambda}$ für Momenta mit $p^2=0$ , aber der Schleifenimpuls ist nicht leicht. Ich denke, das Dirac-Delta im Integranden legt es auf die Schale, aber woher kommt das dann $t$ komme aus?

Als nächstes wird das Integral über den Schleifenimpuls in ein Integral über die Spinoren umgewandelt:

\int D^{4} l δ^{(+)} (l^{2}) F (l) = - \int_{0}^{\infty} \frac{T}{4} D T \int_{\tilde{λ} = \bar{λ}} ⟨ λ D λ ⟩ [\tilde{λ} D \tilde{λ}] F (T, λ, \tilde{λ}) .

$\int{d^4l\delta^{(+)}(l^2)f(l)}=-\int_0^\infty{\frac{t}{4}dt\int_{\tilde{\lambda}=\bar{\lambda}}{\langle\lambda \; d\lambda\rangle} [\tilde{\lambda} \; d\tilde{\lambda}] f(t,\lambda,\tilde{\lambda})}.$

Kann jemand die Ableitung dieser Formel angeben oder mir eine Referenz geben, wo dies getan wird?

Britto verweist auf die Arbeit MHV Vertices And Tree Amplitudes In Gauge Theory von Cachazo, Svrcek und Witten. Aber da finde ich keine Erklärung, die ich verstehe.

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Spinor-Integration

Lubos Motl · Answer 1

Die Zersetzung $p=\lambda \tilde\lambda$ gilt allerdings nur für Nullvektoren. Bei Schleifenintegralen kann der Schleifenimpuls im Allgemeinen außerhalb der Schale liegen, aber aufgrund der Delta-Funktion in diesen Integralen tragen nur die Nullwerte des Impulses bei, sodass es ausreicht, sich mit den Nullimpulsen zu befassen, und sie können in die Spinoren faktorisiert werden Hier entlang.

Die Variable $t$ ist nur ein Normalisierungsfaktor, der willkürlich, real und positiv sein darf, weil $\lambda$ Und $\tilde\lambda$ werden die Rolle von homogenen Koordinaten spielen, also darf man sie nicht von ihren Vielfachen unterscheiden.

Das Integral ist nur eine einfache Änderung von Variablen auf dem zukünftigen Lichtkegel.

Die richtigen Referenzen für diese Integrale werden in der von Ihnen zitierten Arbeit erwähnt, es sind [28] und [29].

http://arxiv.org/abs/hep-ph/0503132
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0602178

Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort. Dies klärt meine Verwirrung darüber auf $l=t\lambda\tilde{\lambda}$ . Es wäre sehr nett, wenn Sie erklären könnten, wie die Änderung von Variablen im Integral funktioniert. Hier stecke ich immer noch fest und ich denke, es wird auch nicht in den Referenzen erklärt (vielleicht weil es zu trivial ist).
Hallo! Dies kann durch einfache Algebra erfolgen, aber es ist auch gut zu bemerken, dass beide Seiten die gleiche Unterstützung haben - sie sind Integrale über den zukünftigen Lichtkegel - und in beiden Fällen die Delta-Funktion, die die Unterstützung für den kombinierten Lichtkegel auferlegt mit der Lorentz-Invarianz bestimmt das Maß bis zur Normalisierung eindeutig (die Spinorprodukte sind Lorentz-invariant ähnlich wie Delta von $l^2$ ), also müssen sie bis zur Normalisierung gleich sein, die man überprüfen (oder glauben) muss. Die Normierung kann entweder durch langweilige Algebra oder durch Integration einer bestimmten Beispielfunktion überprüft werden.

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Johannes

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Lubos Motl

Johannes

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