Eine einfache Frage zur Streuamplitude MM\mathcal{M} in QFT

Ja: Die Streuamplitude ist ein Lorentz-Skalar.

Spinor-Indizes schweben nicht herum. Sie sind auch unter Vertrag. Sie werden nicht explizit gezeigt, um die Notation übersichtlicher zu machen. Im Allgemeinen werden alle unterdrückten Indizes zusammengezogen. Die Standardkonvention ist, dass man so viele Indizes wie möglich unterdrückt, solange der Ausdruck eindeutig ist. Nur Vektorindizes werden manchmal explizit gezeigt, aber meistens aus historischen Gründen. Man könnte sie auch unterdrücken.

In diesem Sinne Ausdruck der Form

$$\bar u\gamma v\ \bar v\gamma u$$ ist eine Kurzschreibweise für $$\bar u\gamma^\mu v\ \bar v\gamma_\mu u$$ was selbst eine Kurzschreibweise für ist $$\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ was selbst eine Kurzschreibweise für ist $$\sum_{abcd\mu}\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ usw.

Es sollte klar sein, dass der erste Ausdruck bevorzugt wird: Er enthält alle relevanten Informationen so prägnant wie möglich.

Wenn Sie mit Spinor-Indizes herumspielen möchten, um etwas Selbstvertrauen zu gewinnen, sehen Sie sich Srednicki, Teil II (Spin One Half) an. Lesen Sie so viele Kapitel wie möglich/notwendig. Sie können ein kostenloses Exemplar auf seiner Webseite finden .

Alle Lorentz-Indizes werden summiert, aber es ist subtiler als Sie vielleicht denken. Die Amplitude für Teilchen mit Helizität/Spin größer als Null ist kein Skalar. Der Grund dafür ist, dass sich die externen Polarisationen/Spinoren unter der kleinen Gruppe transformieren (Lorentz-Transformationen, die die Impulse invariant lassen).

Beispielsweise transformieren sich Gluon-Streuamplituden in vier Dimensionen unter$U(1)$kleine Gruppe von masselosen Teilchen als

$$\mathcal{M} \rightarrow e^{-2i\theta \sum_i h_i}\mathcal{M}\,,$$ Wo $h_i$ist die Helizität jedes Teilchens. Für weitere Einzelheiten werfen Sie einen Blick auf Kapitel 2.5 von Weinbergs QFT I oder auf Abschnitt 2.6 dieser Rezension für eine modernere Perspektive.