Polen haben in einen Propagator gebissen

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Polen haben in einen Propagator gebissen

Anonym

Hallo, ich versuche, den KG-Propagator abzuleiten und stecke an der Stelle fest, an der Cauchys Integralformel benötigt wird, dh auswerten

\int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} {\frac{1}{2 E_{P}} e^{- ich P . (X - j)} |_{P^{Ö} = E_{P}} + \frac{1}{- 2 E_{P}} e^{- ich P . (X - j)} |_{P^{Ö} = - E_{P}}}

$\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}\left\lbrace\frac{1}{2E_{p}}e^{-ip.(x-y)}|_{p^{o}=E_{p}}+\frac{1}{-2E_{p}}e^{-ip.(x-y)}|_{p^{o}=-E_{p}}\right\rbrace$ Zu

\int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \int \frac{D P^{0}}{ich 2 π} \frac{- 1}{P^{2} - M^{2}} e^{- ich P . (X - j)}

$\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}\int \frac{dp^{0}}{i2\pi}\frac{-1}{P^{2}-m^{2}}e^{-ip.(x-y)}$

Ich verstehe, dass die Formel $g(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{g(z)}{z-z_{0}}dz$ muss verwendet werden, aber ich sehe einfach nicht, wie die Lösung gefunden werden kann,

Benutzer21299

Ich würde dir raten, zuerst den umgekehrten Weg zu gehen. Wenn Sie die durchführen

d p^{0}

$dp^0$ Integration erhalten Sie am Ende ein dreidimensionales Integral, das zu dem passt, womit Sie beginnen. Sie müssen also im Grunde eine komplexe Integration „umkehren“, was beim ersten Mal etwas mühsam ist.

Dehnung

Diese Frage ist sehr unvollständig, aber möglicherweise interessant, wenn sie geklärt wird. Kannst du es also etwas näher ausführen?

Dehnung

@ChrisWhite danke für diese Informationen, diese Version sieht jetzt gut und klar genug aus, um offen gelassen zu werden.

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Polen haben in einen Propagator gebissen

Ich würde dir raten, zuerst den umgekehrten Weg zu gehen. Wenn Sie die durchführen $dp^0$ Integration erhalten Sie am Ende ein dreidimensionales Integral, das zu dem passt, womit Sie beginnen. Sie müssen also im Grunde eine komplexe Integration „umkehren“, was beim ersten Mal etwas mühsam ist.
Diese Frage ist sehr unvollständig, aber möglicherweise interessant, wenn sie geklärt wird. Kannst du es also etwas näher ausführen?
@ChrisWhite danke für diese Informationen, diese Version sieht jetzt gut und klar genug aus, um offen gelassen zu werden.

soliton · Answer 1

Für Feynman-Rezepte befinden sich die Pole bei $p^0=\pm(E_p-i\epsilon)$ . Wenn $x^0>y^0$ , schließen wir den Zähler unterhalb des Pluspols, so dass $\Re(-ip^0(x^0-y^0))<0$ ; Wenn $x^0<y^0$ , wir schließen den Zähler über dem Minuspol so, dass $\Re(-ip^0(x^0-y^0))<0$ . Laut Jodan Lemma wissen wir das

\int_{| P^{0} | = + \infty} \frac{D P^{0}}{2 π ich} \frac{- 1}{P^{2} - M^{2}} e^{- ich P^{0} (X^{0} - j^{0})} = 0

$\int_{|p^0|=+\infty}\frac{dp^0}{2\pi i}\,\frac{-1}{P^2-m^2}e^{-ip^0(x^0-y^0)}=0$

Beachte das $(p^0)^2-E^2_p=(p^0-E_p)(p^0+E_p)$ und der Zähler, den wir wählen, hat nur einen Pol. Für $x^0>y^0$ , wir haben

z_{0} = E_{P}, G (z) = \frac{- 1}{P^{0} + E_{P}} e^{- ich P^{0} (X^{0} - j^{0})}

$z_0=E_p,\quad g(z)=\frac{-1}{p^0+E_p}e^{-ip^0(x^0-y^0)}$

und für $x^0<y^0$ , wir haben

z_{0} = - E_{P}, G (z) = \frac{- 1}{P^{0} - E_{P}} e^{- ich P^{0} (X^{0} - j^{0})}

$z_0=-E_p,\quad g(z)=\frac{-1}{p^0-E_p}e^{-ip^0(x^0-y^0)}$

Dann mit dem Residuensatz

\frac{1}{2 π ich} \int D P^{0} \frac{G (z)}{z - z_{0}} = G (z_{0})

$\frac{1}{2\pi i}\int dp^0\,\frac{g(z)}{z-z_0}=g(z_0)$

wir können das besorgen

\frac{1}{2 π ich} \int D P^{0} \frac{- 1}{(P^{0})^{2} - E_{P}^{2} + ich ϵ} e^{- ich P^{0} (X^{0} - j^{0})} = \frac{1}{2 E_{P}} e^{- ich E_{P} (X^{0} - j^{0})} θ (X^{0} - j^{0}) + \frac{1}{- 2 E_{P}} e^{ich E_{P} (X^{0} - j^{0})} θ (j^{0} - X^{0})

$\frac{1}{2\pi i}\int dp^0\,\frac{-1}{(p^0)^2-E^2_p+i\epsilon}e^{-ip^0(x^0-y^0)}=\frac{1}{2E_p}e^{-iE_p(x^0-y^0)}\theta(x^0-y^0)+\frac{1}{-2E_p}e^{iE_p(x^0-y^0)}\theta(y^0-x^0)$

Entschuldigung, ich bin immer noch etwas verwirrt, ich verstehe nicht, wie Sie das letzte Integral gemacht haben. Mir ist klar, dass p aufgeteilt werden kann in $p^{0}$ und seine räumlichen Terme, aber ich kann immer noch nicht sehen, wie man das letzte Integral macht
Tut mir leid, dass ich mich zuerst mit Konventionen verwirren lasse $E_{p}^{2}=m^{2}+p^{2}_{i}$ , sollten auch nicht die Exponentiale a haben $p$ nicht ein $E_{p}$ , Ich verstehe nicht wirklich, warum es eine gibt $p^{2}-m^{2}$ , Entschuldigung, dass ich umständlich bin
$p^2=E^2_p-p^2_i=m^2$ ist der On-Shell-Zustand. Bitte beachte das $e^{-ip_i(x_i-y_i)}$ erscheint im dreidimensionalen Integral $\int d^3\vec{p}$

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Anonym

Benutzer21299

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soliton

Benutzer21119

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soliton

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