Ein Integral in Bezug auf QFT [geschlossen]

Nehmen Sie also, dem Vorschlag von Olaf und Vladimir folgend, an, dass die Impulse auf der Schale sind, also das$E = E(p)$. Dann führen wir zuerst das Positionsintegral durch, um eine Deltafunktion zu erhalten, mit der wir eines der Impulsintegrale durchführen können:

$$\begin{align} \int d^3p\,d^3p'\,d^3x\ f(p,p')e^{ip\cdot x-ip'\cdot x} &=\int d^3p\,d^3p'\,d^3x\ f(p,p')e^{i(E(p)-E(p'))t - i(\vec p - \vec p')\cdot\vec x}\\ &=(2\pi)^3\int d^3p\,d^3p'\ f(p,p')e^{i(E(p)-E(p'))t}\delta^{(3)}(\vec p - \vec p')\\ &=(2\pi)^3\int d^3p \ f(p,p) \end{align}$$

Sind Sie sicher, dass$x\cdot p$ist nicht nur das gewöhnliche 3D-Punktprodukt? T

Denn in diesem Fall können Sie die Eigenschaft der Delta-Funktion nutzen,

$$\int e^{i(p-p')\cdot x} d^3x = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(p-p')$$

die Sie zum Integrieren verwenden können$p'$.