Schreiben Sie das Ortsraum-Feynman-Diagramm in den Impulsraum um

Question

Schreiben Sie das Ortsraum-Feynman-Diagramm in den Impulsraum um

Physik
Feynman-Diagramme
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Hausaufgaben-und-Übungen

Mikkel Rev

Ich folge Peskin, verstehe aber nicht, wie man das Positionsraum-Feynman-Diagramm im Momentenraum umschreibt.

Angenommen, wir sind dabei $\phi^4$ -Theorie u $\phi$ ist ein reelles Skalarfeld. Mit einem Beispiel wäre es aufschlussreich. Ich nehme an, es ist möglich:

gehen vom analytischen Ausdruck im Ortsraum zum analytischen Ausdruck im Impulsraum
gehen vom Feynman-Diagramm im Ortsraum zum analytischen Ausdruck im Impulsraum.

Können Sie Schritt für Schritt zeigen, wie das geht? Ich kann ein Feynman-Diagramm anbieten, um Zeit zu sparen: Und hier ist der analytische Ausdruck

- \frac{(ich λ)^{2}}{2 (4!)^{2}} \int D^{4} z \int D^{4} w D_{F} (X - z) D_{F} (j - w) D_{F} (z - w)^{3}

$-\frac{(i \lambda)^2}{2 (4!)^2} \int d ^4 z\, \int d^4 w\, D_F(x-z) D_F(y-w) D_F(z-w)^3$

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Sean E. Lake · Answer 1

Wenn Sie es zum ersten Mal beweisen, wenden Sie die folgenden Identitäten durch Substitution an:

\begin{aligned} D_{F} (X - j) & = \int D^{4} P \frac{e^{- ich P (X - j)}}{4 π^{2}} (\frac{1}{P^{2} - M^{2} + ich ϵ}) \\ δ^{4} (X - j) & = \int D^{4} P \frac{e^{- ich P (X - j)}}{4 π^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align}D_F(x-y) &= \int \operatorname{d}^4p \frac{\operatorname{e}^{-i p (x - y)}}{4\pi^2} \left(\frac{1}{p^2-m^2 + i\epsilon}\right)\\ \delta^4(x-y) &= \int \operatorname{d}^4p \frac{\operatorname{e}^{-i p (x - y)}}{4\pi^2}. \end{align}$ Der

i ϵ

$i\epsilon$ ist etwas willkürlich und ergibt den Feynman-Propagator.

Beachten Sie, dass Sie diesen Prozess auf der Ebene des Aktions-/Lagrange-Dichteintegrals durchführen können, bevor Sie Feynman-Diagramme ableiten, indem Sie viele der erneuten Beweise der gleichen Identitäten für verschiedene Feynman-Diagramme kurzschließen. Dazu ist die Verwendung der Substitution erforderlich:

ϕ (P) \equiv \int D^{4} X \frac{e^{ich P X}}{4 π^{2}} ϕ (X),

$\phi(p) \equiv \int \operatorname{d}^4 x \frac{\operatorname{e}^{ipx}}{4\pi^2} \phi(x),$ zusätzlich zu der obigen Delta-Funktion.

Wenn Sie in Ihrer Karriere weiter vorankommen, gehen Sie direkt zu den Impuls-Raumpropagatoren, wo jede Linie einen Impuls-Raumpropagator angibt (die Größe in den Klammern oben), und der Netto-4-Impuls, der in jeden Scheitelpunkt fließt, Null ist (Erhaltung des Impuls-Delta Funktionen, die sich aus den Raumintegralen der Exponentiale ergeben).

Es wäre toll, wenn du wie gewünscht Schritt für Schritt durchgehen könntest :)

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Mikkel Rev

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Sean E. Lake

Mikkel Rev

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