Drei Integrale in Peskins Lehrbuch

1. Seit$x\gg p$, wir sehen das$\sin(px)$ist stark oszillierend. Tatsächlich wird das Integral

$$\int_0 ^\infty \mathrm{d}p\ p \sin px \ e^{-it\sqrt{p^2 +m^2}}\sim \int_{-\infty} ^\infty \mathrm{d}p\ p\ e^{ipx-it\sqrt{p^2 +m^2}}$$

modulo ein Faktor von$\pm2/i$. Beachten Sie nun, dass dieses Integral ähnelt$\int f(p)\exp(g(p))\,\mathrm{d}p$. Wir finden den Punkt$\tilde{p}$so dass

$$g'(\tilde{p})=0.$$

Dann einfach tauschen$g(p)$mit$g(\tilde{p})+\frac{1}{2}g''(\tilde{p})(p-\tilde{p})^{2}$und führe das Integral als Moment einer Gaußfunktion aus. Mehr zu dieser Annäherung finden Sie zB im entsprechenden Kapitel des Buches von Hunter und Nachtergaele (frei und legal erhältlich ).

2. Dies ist nur eine Fourier-Transformation von$p\,(p^{2}+m^{2})^{-1/2}$.

3. Ich nehme an, Sie beziehen sich auf Gl. (2.51) auf Seite 27. Wir schreiben das Integral als

$$I(t) = \int^{\infty}_{m}\sqrt{E^{2}-m^{2}}e^{-iEt}\,\mathrm{d}E.$$

Peskin und Schroeder betrachten dieses Integral als$t\to\infty$. Betrachten wir eine Änderung der Variablen zu

$$E^{2}-m^{2}=\mu^{2}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}E = \frac{\mu}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu$$

Wir haben

$$\begin{align} I(t) &= \int^{\infty}_{0} \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}e^{-it\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu \\ &=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty} \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}e^{-it\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu \end{align}$$

Lassen

$$f(\mu) = \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}},\quad\mbox{and}\quad \phi(\mu) = \sqrt{m^{2}+\mu^{2}}$$

So

$$I(t)=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty}f(\mu)e^{-it\phi(\mu)}\mathrm{d}\mu.$$

Beobachten

$$f(\mu)=\mu\phi'(\mu).$$

Als$t\to\infty$, wird das Integral stark oszillierend.

Von hier aus gibt es zwei Möglichkeiten, das Problem anzugehen. Die erste, unverzeihlich handgewellte, aber schnellere: Nehmen Sie die Annäherung an die stationäre Phase und tun Sie so$f(\mu_{\text{crit}})$ist eine willkürliche Konstante.

Die kritischen Punkte für$\phi$Sind$\mu_{0}=0$Und$\mu_{\pm}=\pm im$. Uns interessiert nur das Echte$\mu$, also erweitern wir Taylor ungefähr$\mu_0$nach zweiter Ordnung:

$$\begin{align} \phi(\mu)&=\phi(0)+\frac{1}{2!}\phi''(0)\mu^{2}\\ &=m + \frac{1}{2m}\mu^{2} \end{align}$$

Wir approximieren nun das Integral als

$$I(t) \sim \int^{\infty}_{-\infty}f(c)e^{-itm}e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu \approx f(c)e^{-itm}\sqrt{\frac{4\pi m}{t}}.\tag{1}$$

Die andere Annäherung behebt nicht$f$. Beobachten$f(\mu)\sim|\mu|$, also haben wir

$$I(t) \sim e^{-itm} \int^{\infty}_{0}\mu e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu.$$

Wir haben (unter Verwendung von Fresnel-Integralen )

$$\int^{\infty}_{0}\mu e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu\sim \frac{im}{t}.$$

Somit

$$I(t)\sim\frac{im}{t}e^{-imt}.\tag{2}$$

Nur eine Anmerkung zum dritten Integral.

$$\frac{1}{4\pi^2}\int_m^\infty dE\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}.$$ Wenn Sie die Berechnung nicht explizit durchführen möchten, wie in Alex 'Antwort, gibt es ein Plausibilitätsargument. In der Grenze wo$t$sehr groß ist, schwingt die Exponentialfunktion sehr schnell. Die Oszillationen heben sich außer in dem Bereich auf, in dem sie sich gegenseitig aufheben$\sqrt{E^2-m^2}$hat eine sehr große Steigung. Tatsächlich bei$E=m$, die Steigung dieser Funktion ist unendlich. Daher können wir vermuten, dass das Integral proportional zu sein könnte$e^{-imt}$.

Dies ist nur eine Ergänzung zu Alex 'Antwort.

2. Für das zweite Integral bietet das Buch eine Analyse, um die Kontur nach oben zu schieben, um den Schnitt des oberen Zweigs zu umhüllen. Nach einiger Manipulation ergibt sich das folgende Integral $$\frac{1}{4\pi^2 r}\int_m^\infty d\rho \frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}}$$ An der Grenze$r\rightarrow \infty$, die Wirkung der exponentiellen Unterdrückung aufgrund des Faktors$e^{-\rho r}$überwältigt, dass der Singularität von$\frac{1}{\sqrt{\rho^2-m^2}}$bei$m$. Als Ergebnis kann man grob behandeln$\frac{\rho}{\sqrt{\rho^2-m^2}}$als Konstante, und dies führt zu (2.52).