Berechnung der QCD-Vektor-Zweipunktfunktion

Beginnen wir mit

$$\langle\Omega|T\{j_{\mu}(x)j_{\nu}(0)\}|\Omega\rangle=\langle\Omega|T\{[\bar{q}(x)\gamma_{\mu}q(x)][\bar{q}(0)\gamma^{\mu}q(0)]\}|\Omega\rangle=$$

$$=\langle\Omega|T\{\bar{q}(x)_a^i(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\}|\Omega\rangle=\ldots$$

wo ich das gemacht habe$i,j,k,l$Spinor-Indizes und die$a,b$Farbindizes explizit. Wenn wir dies neu anordnen, können wir schreiben

$$=\langle\Omega|T\{(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\bar{q}(x)_a^i\}|\Omega\rangle=\ldots$$

Wir werden nur in erster Ordnung in der Störungstheorie arbeiten. Dann speichern wir nur die Identität aus der Wechselwirkungs-Hamilton-Expansion und dem Kontrahieren der angrenzenden Quarkfelder, um verbundene Diagramme zu erhalten, die wir erhalten

$$\ldots=(\gamma^{ij})_{\mu}S(x)_{ab}^{jk}(\gamma^{kl})^{\mu}S(-x)_{ba}^{li}=N_CTr[\gamma_{\mu}S(x)\gamma^{\mu}S(-x)]$$

Wo$S$ist der freie Fermion-Propagator und wir haben die Spur über die Farbindizes genommen, um die zu erhalten$N_C$. Fügen Sie dies in unseren ursprünglichen Ausdruck ein und ändern Sie die Reihenfolge der Matrizen innerhalb der Spuren, wobei Sie sich die zyklische Natur der Spuren zunutze machen, die wir erhalten

$$\frac{-iN_c\mu^{2\epsilon}}{(d-1)q^2}\int{}d^dx\,{}e^ {iqx}Tr[S(x)\gamma_{\mu}S(-x)\gamma^{\mu}]$$