Beweis von Quantenkorrelationsfunktionen

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Beweis von Quantenkorrelationsfunktionen

Physik
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Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
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Benutzer56963

Ich lese die Vorlesungsunterlagen von David Tong über QFT durch.

Auf den Seiten 76-77 gibt er einen Beweis über Korrelationsfunktionen. Siehe den folgenden Link:

Ich folge den Beweisschritten, um Gleichung (3.95) zu erhalten. Aber einige Zwischenschritte des Beweises sind nicht klar.

Erste Frage

Warum können wir schreiben

T ϕ_{1 ICH} \dots ϕ_{N ICH} S = U_{ICH} (+ \infty, T_{1}) ϕ_{1 ICH} U (T_{1}, T_{2}) ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} U_{ICH} (T_{N}, - \infty) ?

$T\phi_{1I} \dots \phi_{nI}S=U_{I}(+\infty, t_{1})\phi_{1I}U(t_{1},t_{2})\phi_{2I}\dots \phi_{nI}U_{I}(t_{n},-\infty)\ \ ?$

Ich meine, nach dem Ablegen der $T$ , sollten wir nicht haben

= ϕ_{1 ICH} ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} S

$=\phi_{1I}\phi_{2I}\dots \phi_{nI}S$

= ϕ_{1 ICH} ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} U_{ICH} (+ \infty, - \infty) ?

$=\phi_{1I}\phi_{2I}\dots \phi_{nI}U_{I}(+\infty,-\infty)\ \ ?$

Tut $T$ beziehen sich auf die $\phi_{1}\dots\phi_{n}$ nur oder an die $\phi_{1}\dots \phi_{nI}S$ Und

U_{ICH} (+ \infty, - \infty) = U_{ICH} (+ \infty, T_{1}) U_{ICH} (T_{1}, T_{2}) \dots U_{ICH} (T_{N}, - \infty) ?

$U_{I}(+\infty,-\infty)=U_{I}(+\infty, t_{1})U_{I}(t_{1},t_{2})\dots U_{I}(t_{n},-\infty)\ \ ?$

Zweite Frage

Wie konvertieren wir die einzelnen $\phi_{I}$ hinein $\phi_{H}$ verwenden

U_{ICH} (T_{k}, T_{k + 1}) = T e X P (- ich \int_{T_{k}}^{T_{k + 1}} H_{ICH})

$U_{I}(t_{k},t_{k+1})=Texp(-i\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}H_{I})$ Ankommen in

T ϕ_{1 ICH} \dots ϕ_{N ICH} S = U_{ICH} (+ \infty, T_{0}) ϕ_{1 H} \dots ϕ_{N H} U_{ICH} (T_{0}, - \infty) ?

$T\phi_{1I} \dots \phi_{nI}S=U_{I}(+\infty, t_{0})\phi_{1H}\dots \phi_{nH}U_{I}(t_{0},-\infty)\ \ ?$

Dritte Frage

Warum haben wir

U_{ICH} (T, - \infty) = U (T, - \infty) ?

$U_{I}(t, -\infty)=U(t,-\infty)\ \ ?$

QMechaniker

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Antworten (1)

Beweis von Quantenkorrelationsfunktionen

Kokosnuss · Answer 1

Erste Frage

Verwenden Sie das $S=U_I(+\infty,-\infty)=U_I(+\infty, t_1)U_I(t_1,t_2)\cdots U_I(t_n,-\infty)$ , wie du sagst, das hast du

\begin{aligned} T ϕ_{1 ICH} ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} S & = T ϕ_{1 ICH} ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} U_{ICH} (+ \infty, T_{1}) U_{ICH} (T_{1}, T_{2}) \dots U_{ICH} (T_{N}, - \infty) \\ = U_{ICH} (+ \infty, T_{1}) ϕ_{1 ICH} U_{ICH} (T_{1}, T_{2}) ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} U_{ICH} (T_{N}, - \infty), \end{aligned}

$\begin{align} T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI}S &= T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI} U_I(+\infty, t_1)U_I(t_1,t_2)\cdots U_I(t_n,-\infty) \\ & = U_I(+\infty, t_1)\phi_{1I}U_I(t_1,t_2)\phi_{2I}\cdots \phi_{nI}U_I(t_n,-\infty), \end{align}$ wobei die zweite Gleichheit durch die Definition der Zeitreihenfolge gegeben ist.

Zweite Frage

Die Operatoren im Wechselwirkungsbild und im Heisenberg-Bild irgendwann gleich zu wählen $t_0$ , wir haben das $\phi_{kI}=U(t_0,t_k)^{-1}\phi_{kH}U_I(t_0,t_k)$ . Einsetzen in das Ergebnis für die vorherige Frage:

\begin{aligned} T ϕ_{1 ICH} ϕ_{2 ICH} \dots ϕ_{N ICH} S = & U_{ICH} (+ \infty, T_{1}) U (T_{0}, T_{1})^{- 1} ϕ_{1 H} U_{ICH} (T_{0}, T_{1}) U_{ICH} (T_{1}, T_{2}) U (T_{0}, T_{2})^{- 1} \\ ϕ_{2 H} U_{ICH} (T_{0}, T_{2}) \dots U (T_{0}, T_{N})^{- 1} ϕ_{N H} U_{ICH} (T_{0}, T_{N}) U_{ICH} (T_{N}, - \infty) \\ = & U_{ICH} (+ \infty, T_{0}) ϕ_{1 H} ϕ_{2 H} \dots ϕ_{N H} U_{ICH} (T_{0}, - \infty) \end{aligned}

$\begin{align} T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI}S =& U_I(+\infty, t_1)U(t_0,t_1)^{-1}\phi_{1H}U_I(t_0,t_1) U_I(t_1,t_2) U(t_0,t_2)^{-1}\\ & \phi_{2H}U_I(t_0,t_2) \cdots U(t_0,t_n)^{-1}\phi_{nH}U_I(t_0,t_n)U_I(t_n,-\infty) \\ =& U_I(+\infty,t_0)\phi_{1H}\phi_{2H}\cdots\phi_{nH}U_I(t_0,-\infty) \end{align}$

Dritte Frage

U_{ICH} (T, - \infty) | 0 ⟩ = U (T, - \infty) | 0 ⟩

$\begin{equation} U_I(t,-\infty)\left|0\right>=U(t,-\infty)\left|0\right> \end{equation}$ Per Definition

| 0 ⟩

$\left|0\right>$ ist ein Eigenvektor von

H_{0}

$H_0$ mit Eigenwert

0

$0$ , So

H_{ICH} | 0 ⟩ = H_{ICH} e^{ich H_{0} T} | 0 ⟩ = H_{ICH} {| 0 ⟩}_{ICH} = ich \frac{D}{D T} {| 0 ⟩}_{ICH} = ich \frac{D}{D T} (e^{ich H_{0} T} | 0 ⟩) = ich \frac{D}{D T} | 0 ⟩ = H | 0 ⟩ .

$\begin{equation} H_I\left|0\right>=H_Ie^{iH_0t}\left|0\right>=H_I\left|0\right>_I= i\frac{d}{dt}\left|0\right>_I= i\frac{d}{dt}\left(e^{iH_0t}\left|0\right>\right)= i\frac{d}{dt}\left|0\right>=H\left|0\right>. \end{equation}$ Somit ist das Interaktionsbild Zeitentwicklung

U_{I} (t, - \infty)

$U_I(t,-\infty)$ (erhalten durch Potenzieren des Integrals von

H_{I}

$H_I$ ) und die Schrödinger-Bildzeitentwicklung

U (t, - \infty)

$U(t,-\infty)$ (das Exponential des Integrals von

H

$H$ ) sind gleich, wenn sie angewendet werden

| 0 ⟩

$\left|0\right>$ .

Ich möchte darauf hinweisen, dass Ihre erste und zweite Gleichung nicht trivial sind ( anders als Sie vielleicht vermuten). Zum einen die Definition von $T$ denn zeitgleiche Argumente haben viele Feinheiten. Darüber hinaus können Sie nicht verwenden $U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)=U(t_1,t_3)$ innerhalb der $T$ Symbol (zumindest nicht ohne die richtige Begründung durch Analyse der verschiedenen Permutationen usw.).
Hmm... vielleicht bin ich hier zu naiv. Ich habe versucht, die Ideen im Beweistext in der Referenz (die noch weniger sagt) zu erklären. Ich hoffe, dass meine Antwort den Weg zeigt, aber vielleicht hätte sie viel detaillierter sein sollen. Ich denke, ich werde am Anfang einen kleinen Absatz hinzufügen, der dies erklärt.
Was Sie geschrieben haben, ist eher Standard: Sie finden dieselbe (IMHO, naive) Behandlung in den meisten Einführungsbüchern zu QFT. Insofern ist Ihr Beitrag für mich ok, aber ich wollte nur darauf hinweisen, dass es streng genommen nicht so einfach ist, wenn man die Theorie formalisieren will.
Sie haben Recht. Ich werde es so lassen, wie es ist, und die Leute über diese Feinheiten informieren, indem ich Ihren Kommentar lese.
Vielen Dank für Ihre Zeit. Diskutieren Sie hier, wie man zeitlich bestellt $\phi_{1I}U_I(t_1,t_2)$ oder $U_I(t_1,t_2)\phi_{1I}$ ?
@VictorVMotti Ich denke, dass durch "die Definition von $T$ für übereinstimmende Zeitargumente hat viele Feinheiten "AccidentalFourierTransform bedeutet diese Art von Problemen. Handwinken würde ich sagen, dass die Operatoren $H_I$ die in den Integralen im Inneren erscheinen $U_I(t_1,t_2)$ werden zwischenzeitlich ausgewertet $t_1$ Und $t_2$ und daher sollten sie rechts von sein $\phi_{1I}$ .
@Kokosnuss. Ich verstehe, vielen Dank. Übrigens, wo haben Sie in Ihrer Antwort die Gleichung von Tong verwendet, die in meinem Fragetext angegeben ist: $U_{I}(t_{k},t_{k+1})=Texp(-i\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}H_{I})$ ?

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Benutzer56963

QMechaniker

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AccidentalFourierTransform

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AccidentalFourierTransform

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