Kommutator des masselosen Skalarfeldes

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Kommutator des masselosen Skalarfeldes

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CStarAlgebra

Hallo, ich versuche zu rechnen $\langle 0|[\phi(x),\phi(0)]|0\rangle$ Wo $\phi (x)$ ist ein freies masseloses Skalarfeld.

Ich habe nachgerechnet

⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ = \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{(X_{0} - ich ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2}}

$\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle = \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2}$ Wo

x = (x_{0}, \vec{x})

$x = (x_0, \vec x)$ und ich verwende die Signatur (+, -, -, -).

Ich bin verwirrt über die Berechnung des Kommutators. Wenn ich versuche, es zu berechnen, bekomme ich so etwas wie

\frac{ich ϵ}{4 π^{2}} \frac{1}{((X_{0} - ich ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2}) ((- X_{0} - ich ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2})},

$\frac{i\epsilon}{4\pi^2}\frac{1}{((x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2)((-x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2) },$ wo ich Begriffe verworfen habe

O (ϵ^{2})

$O(\epsilon^2)$ .

Ich kann nicht sehen, dass dies zu irgendetwas Sinnvollem oder Einfachem vereinfacht wird und wie ich dies wann 0 sein werde $x$ ist raumartig. Kann jemand Hilfe anbieten?

MKF

Kennen Sie die Eigenschaften des Propagators? Eine Sache, die ich als Anfang erwähnen sollte, ist, dass Sie ein Integral für erhalten sollten

⟨ 0 | ϕ (x) ϕ (0) | 0 ⟩

$\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (das ist der Propagator)

CStarAlgebra

Ich habe den Propagator bereits berechnet, er ist wie oben angegeben, von dem ich weiß, dass er richtig ist. Ich frage, wie man den Kommutator berechnet.

Valter Moretti

Der Erwartungswert des Kommutators wird Kausalpropagator genannt , also berechnen Sie den Kausalpropagator. Aufgrund seiner kausalen Eigenschaften konzentriert sich seine Unterstützung innerhalb des Lichtkegels. Da das Feld masselos ist, konzentriert sich seine Unterstützung genau auf diesen Kegel (seine Oberfläche). Sie sollten es aus Ihren Berechnungen finden.

Valter Moretti

Versuchen zu benutzen

1 / (z \pm i 0_{+}) = v p 1 / z \mp i π δ (z)

$1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$

CStarAlgebra

@ValterMoretti Am Ende habe ich das vereinfacht

< 0 | [ϕ (x), ϕ (0)] | 0 >= \frac{ϵ}{(x^{2})^{2}}

$<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Dies ist physikalisch sinnvoll, da es 0 ist, es sei denn, x ^ 2 ist null, was es für ein masseloses Teilchen sein muss. Aber ich bin mir meines Nenners nicht sicher. Wie verwende ich auch den Hauptwertausdruck, den Sie gepostet haben?

\frac{1}{(z - i ϵ)^{2} - y^{2}}

$\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?

Valter Moretti

@CStarAlgebra Siehe meine Antwort, wo ich alle Berechnungen bis zum endgültigen Ausdruck durchgeführt habe ...

Antworten (1)

Kommutator des masselosen Skalarfeldes

Kennen Sie die Eigenschaften des Propagators? Eine Sache, die ich als Anfang erwähnen sollte, ist, dass Sie ein Integral für erhalten sollten $\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (das ist der Propagator)
Ich habe den Propagator bereits berechnet, er ist wie oben angegeben, von dem ich weiß, dass er richtig ist. Ich frage, wie man den Kommutator berechnet.
Der Erwartungswert des Kommutators wird Kausalpropagator genannt , also berechnen Sie den Kausalpropagator. Aufgrund seiner kausalen Eigenschaften konzentriert sich seine Unterstützung innerhalb des Lichtkegels. Da das Feld masselos ist, konzentriert sich seine Unterstützung genau auf diesen Kegel (seine Oberfläche). Sie sollten es aus Ihren Berechnungen finden.
Versuchen zu benutzen $1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$
@ValterMoretti Am Ende habe ich das vereinfacht $<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Dies ist physikalisch sinnvoll, da es 0 ist, es sei denn, x ^ 2 ist null, was es für ein masseloses Teilchen sein muss. Aber ich bin mir meines Nenners nicht sicher. Wie verwende ich auch den Hauptwertausdruck, den Sie gepostet haben? $\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?
@CStarAlgebra Siehe meine Antwort, wo ich alle Berechnungen bis zum endgültigen Ausdruck durchgeführt habe ...

Valter Moretti · Answer 1

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ & = \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{(X_{0} - ich 0_{+})^{2} - (\vec{X})^{2}} \\ = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (\frac{1}{(X_{0} - ich 0_{+}) - | \vec{X} |} - \frac{1}{(X_{0} - ich 0_{+}) + | \vec{X} |}), \end{aligned}

$\begin{align}\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i0_+)^2 - (\vec x)^2} \\ &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{(x_0 - i0_+) - |\vec x|} - \frac{1}{(x_0 - i0_+) + |\vec x|}\right)\:,\end{align}$ das ist

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ & = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (\frac{1}{X_{0} - | \vec{X} | - ich 0_{+}} - \frac{1}{X_{0} + | \vec{X} | - ich 0_{+}}) \\ = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (P v \frac{1}{X_{0} - | \vec{X} |} - P v \frac{1}{X_{0} + | \vec{X} |}) + \frac{π ich}{8 π^{2} | \vec{X} |} (δ (X_{0} - | \vec{X} |) - δ (X_{0} + | \vec{X} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{x_0 - |\vec x| - i0_+ } - \frac{1}{x_0 + |\vec x|- i0_+ }\right)\\ & = \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 - |\vec x| )- \delta(x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$ Ähnlich

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (0) ϕ (X) | 0 ⟩ & = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (P v \frac{1}{- X_{0} - | \vec{X} |} - P v \frac{1}{- X_{0} + | \vec{X} |}) + \frac{π ich}{8 π^{2} | \vec{X} |} (δ (- X_{0} - | \vec{X} |) - δ (- X_{0} + | \vec{X} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (0) \phi (x)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{-x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{-x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(-x_0 - |\vec x| )- \delta(-x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$

Den Unterschied machen, nutzen $PV1/(-z) = -PV 1/z$ Und $\delta(z)=\delta(-z)$ , haben wir einen Ausdruck für den kausalen Propagator wie diesen

\begin{matrix} (1) & ⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \frac{2 π ich}{8 π^{2} | \vec{X} |} (δ (X_{0} + | \vec{X} |) - δ (X_{0} - | \vec{X} |)) . \end{matrix}

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{2\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 + |\vec x| )- \delta(x_0 - |\vec x| )\right)\:.\tag{1}$ Verwenden

\begin{matrix} (2) & δ (F (X)) = \sum_{ich} \frac{δ (X - X_{ich})}{| \frac{D F}{D X} |_{X_{ich}} |} \end{matrix}

$\delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x-x_i)}{\left|\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\bigg |_{x_i}\right|}\tag{2}$ Wo

x_{i}

$x_i$ sind verschiedene einfache Nullen von

f

$f$ , kann die gefundene Identität in das Formular umgeformt werden

⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = - \frac{4 π ich}{8 π^{2}} Zeichen (X_{0}) δ (X_{0}^{2} - (\vec{X})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = -\frac{4\pi i}{8\pi^2} \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ Abgesehen von falschen Koeffizienten (bitte alles überprüfen!), sollte das Endergebnis sein

⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \frac{1}{2 π ich} Zeichen (X_{0}) δ (X_{0}^{2} - (\vec{X})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{1}{2\pi i } \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ Es ist offensichtlich, dass die rechte Seite für raumartig verwandte Argumente des kausalen Propagators verschwindet. Es verschwindet aber auch für zeitbezogene Argumente! Dies ist ein Merkmal freier masseloser Theorien in der flachen Raumzeit.

Danke @ValterMoretti, eine Frage, woher kommt die sgn-Funktion?
Es ergibt sich aus dem Vergleich von (1) und (2). Ich habe ein insgesamt falsches Vorzeichen korrigiert.

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