Korrelationsfunktion und Quadrivektoren, wie vereinfacht man ein Dreifachintegral?

Question

Korrelationsfunktion und Quadrivektoren, wie vereinfacht man ein Dreifachintegral?

Physik
Verbreiter
Integration
Greens-Funktionen
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen

Plänkler99

Betrachten Sie als nächstes den Fall wo $x-y$ ist rein räumlich: $x^0-y^0=0, \mathbf{x-y}=\mathbf{r}$ . Die Amplitude ist dann
$\begin{aligned} D (X - j) & = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{P}} e^{ich P \cdot R} \\ = \frac{2 π}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} D P \frac{P^{2}}{2 E_{P}} \frac{e^{ich P R} - e^{- ich P R}}{ich P R} \\ = \frac{- ich}{2 (2 π)^{2} R} \int_{- \infty}^{\infty} D P \frac{P e^{ich P R}}{\sqrt{P^{2} + M^{2}}} \end{aligned}$ $\begin{align} D(x-y)&=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\\&=\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^{\infty}dp\frac{p^2}{2E_\mathbf{p}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}\\&=\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{pe^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}} \end{align}$

Kann mir jemand erklären, wie er dieses dreifache Integral zu einem einfachen vereinfacht hat? Es ist aus dem Peskin-Buch An Introduction to Quantum Field Theory.

G. Smith

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G. Smith · Answer 1

Er verwendete sphärische Polarkoordinaten im Impulsraum und führte die Winkelintegrationen durch. Mit anderen Worten,

D^{3} P = P^{2} Sünde θ D P D θ D ϕ .

$d^3p=p^2\sin\theta\,dp\,d\theta\,d\phi.$

Um die Winkelintegrationen durchzuführen, nehmen Sie die Polarachse mit $\mathbf r$ damit der Winkel dazwischen $\mathbf p$ Und $\mathbf r$ Ist $\theta$ .

Es ist wichtig zu erkennen, dass Sie die Freiheit haben, beliebige Koordinaten einzuführen, die die Berechnung eines Integrals mit Vektoren vereinfachen.

Sollte das Integral über die Winkelkoordinaten mir nicht 4pi geben?
Nein, denn das Skalarprodukt beinhaltet einen Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren. Nimmt man die Polachse mit $\mathbf r$ , dann ist dieser Winkel $\theta$ . So $\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}=p\,r\cos\theta$ .

Charlie · Answer 2

Anstatt ein Integral von zu machen $d^3p$ über alles $\Bbb R^3$ Sie können auf sphärische Polarkoordinaten umschalten und die Kugel über alles integrieren $r$ (die sie in diesem Fall gerade angerufen haben $p$ nochmal). Beachten Sie, dass das erste Integral vorbei ist $(-\infty,+\infty)$ und der zweite ist vorbei $(0,\infty)$ .

Sollte mir das Integral über die Winkelkoordinaten nicht 4pi geben?

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