Quantenfeldtheorie, Lösung der Delta / Grün-Funktion

Wir können die Projektionsoperatoren verwenden

$$\begin{align} & P^{T}_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \\ & P^{L}_{\mu \nu} = \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \end{align}$$ Wo$P^{T}_{\mu \nu}$Und$P^{L}_{\mu \nu}$sind die Quer- und Längsprojektoren.$P^{T}_{\mu \nu}$Und$P^{L}_{\mu \nu}$sind die Projektionsoperatoren auf Vektoren, die orthogonal und parallel zu sind$k^{\mu}$, bzw. Sie können selbst überprüfen, ob sie die Eigenschaften von Projektoren erfüllen.

Wir schreiben dann

$$\begin{align} -(k^{2}-m) g^{\mu \nu} + k^{\mu}k^{\nu} = A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu} \end{align}$$ wo wir finden können $$\begin{align} A = -(k^{2} - m^{2}),\ B = m^{2}. \end{align}$$ Nun, um die Umkehrung zu finden$D_{\mu \nu}(k)$wir invertieren einfach die$A$Und$B$und senken Sie dann die$\mu$Und$\nu$In$A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu}$, wo wir nachgeben $$\begin{align} D_{\mu \nu}(k) & = \frac{1}{A} P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{B} P^{L}_{\mu \nu} = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{m^{2}} P^{L}_{\mu \nu} \\ & = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}\left( g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \right) + \frac{1}{m^{2}} \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \\ & = \frac{1}{k^{2}-m^{2}}\left( -g_{\mu \nu} + \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{m^{2}} \right). \end{align}$$ Beim Lösen dieser Art von Gleichungen ist es immer sehr hilfreich, es zu verwenden$P^{T}_{\mu \nu}$Und$P^{L}_{\mu \nu}$, da der Invertierungsvorgang sehr einfach ist. Weitere Informationen finden Sie unter "Quantum Field Theory: Lectures of Sidney Coleman". In Kapitel 28.6 präsentiert er tatsächlich die gleiche Berechnung, die ich hier gemacht habe. Er gab auch die Identitäten an, die dies bestätigten$P^{T}_{\mu \nu}$Und$P^{L}_{\mu \nu}$sind in der Tat Projektoren.