Inverses Quadratgesetz in DDD-Dimensionen (zwei Fälle)

Question

Inverses Quadratgesetz in DDD-Dimensionen (zwei Fälle)

Physik
Verbreiter
Greens-Funktionen
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Hausaufgaben-und-Übungen

Artjom Alexandrow

Ich lese A. Zee "Quantum Field Theory in a Nutshell" und habe das Problem über das Gesetz der umgekehrten Quadrate in gelöst $D$ Maße. Leider bin ich mit einigen Ergebnissen verwirrt. Lassen Sie mich meine Herleitungen kurz beschreiben und mich auf die Ergebnisse konzentrieren. Die Wechselwirkungsenergie hat folgende Form:

E (R) = - \int \frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{e^{ich k \cdot R}}{k^{2} + M^{2}} \equiv - W (R),

$E(r)=-\int\frac{d^Dk}{(2\pi)^D}\frac{e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}}{k^2+m^2}\equiv -W(r),$ Wo

W (r)

$W(r)$ kann mittels Schwinger-Parametrisierung (siehe Wiki) mit dem Parameter berechnet werden

A = k^{2} + m^{2}

$A=k^2+m^2$ . Dann habe ich das Ergebnis erhalten:

W (R) = \frac{1}{(2 π)^{D / 2}} {(\frac{M}{R})}^{D / 2 - 1} K_{D / 2 - 1} (M R),

$W(r)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\left(\frac{m}{r}\right)^{D/2-1}K_{D/2-1}(mr),$ Wo

K_{ν}

$K_{\nu}$ sind die Besselfunktionen 2. Art. Das Ergebnis zeigt die richtige Antwort für massive Kraftträger (

m \neq 0

$m\neq 0$ ) in 3D, aber ich verstehe nicht, wie man es bekommt

W (r)

$W(r)$ im 2D-Fall mit massivem Träger, weil

K_{0} (m r) \neq \ln (m r)

$K_0(mr)\neq \ln(mr)$ . Außerdem fällt meine Rechnung bei masselosen Trägern hin (

m = 0

$m=0$ ), ist es leicht zu sehen. Kann mir jemand erklären, wie ich die richtigen Antworten für masselose Träger aus meiner Berechnung auswerte?

AccidentalFourierTransform

(m / r)^{D / 2 - 1} = 1 + \frac{ϵ}{2} \log (m / r)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , mit

d = 2 + ϵ

$d=2+\epsilon$ .

Artjom Alexandrow

wie die dimensionale Regularisierung?

Artjom Alexandrow

Okay, lass mich das versuchen. Ich erweitere

K_{ν}

$K_{\nu}$ Und

(m / r)

$(m/r)$ in Serie. Somit erhalte ich:

K_{0} (M R) - K_{0} (M R) Protokoll (\frac{M}{R}) ϵ + . . .

$K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ Und...? Es ist nicht leicht für mich zu sehen

\log (r)

$\log(r)$ Gesetz für masselose Träger.

Zohaib Aarfi

Sie sollten es in der klassischen Feldtheorie von Mark Burgess sehen. Er hat diese Lösungen gegeben.

Artjom Alexandrow

Liebe Zohaib, kannst du genauer werden? Klassische kovariante Felder von M. Burgess?

Antworten (2)

Inverses Quadratgesetz in DDD-Dimensionen (zwei Fälle)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , mit $d=2+\epsilon$ .
Okay, lass mich das versuchen. Ich erweitere $K_{\nu}$ Und $(m/r)$ in Serie. Somit erhalte ich: $K_{0} (M R) - K_{0} (M R) Protokoll (\frac{M}{R}) ϵ + . . .$ $K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ Und...? Es ist nicht leicht für mich zu sehen $\log(r)$ Gesetz für masselose Träger.
Sie sollten es in der klassischen Feldtheorie von Mark Burgess sehen. Er hat diese Lösungen gegeben.
Liebe Zohaib, kannst du genauer werden? Klassische kovariante Felder von M. Burgess?

Artjom Alexandrow · Answer 1

Danke, AccidentalForierTransform & Sean E. Lake!

(1) Um die richtige Antwort für masselose Träger zu erhalten, kann man die Schwinger-Parametrisierung verwenden und den folgenden Ausdruck erhalten:

E (R) = - \frac{2^{D / 2 - 1}}{R^{D - 2}} Γ (\frac{D}{2} - 1) \frac{1}{2 (2 π)^{D / 2}} .

$E(r)=-\frac{2^{D/2-1}}{r^{D-2}}\Gamma\left(\frac{D}{2}-1\right)\frac{1}{2(2\pi)^{D/2}}.$ (2) Leider haben beide Fälle (massive und masselose Träger) "schlechtes Verhalten" für

D = 2

$D=2$ . Die Gammafunktion hat den Pol bei

z = 0

$z=0$ . Um damit umzugehen, kann man dimensionale Regularisierung verwenden: Ersetzen

D \to D + 2 ϵ

$D\rightarrow D+2\epsilon$ . Damit soll sich die Integrationsmaßnahme ändern:

\frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \to \frac{D^{D + 2 ϵ} k}{(2 π)^{D + 2 ϵ}},

$\frac{d^{D}k}{(2\pi)^D}\rightarrow \frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}},$ aber mit dieser Ersetzung sollte man die Dimensionalitäts- und Regularisierungsparameter korrigieren

μ

$\mu$ . Schließlich hat die Maßnahme folgende Form:

\frac{D^{D + 2 ϵ} k}{(2 π)^{D + 2 ϵ}} μ^{- 2 ϵ} .

$\frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}}\mu^{-2\epsilon}.$ Diese Regularisierung liefert die physikalisch richtige Antwort. Die Gamma-Funktion sollte in Reihe erweitert werden:

Γ (ϵ) \approx \frac{1}{ϵ} - γ .

$\Gamma(\epsilon)\approx\frac{1}{\epsilon}-\gamma.$ Und die Fraktion

(1 / (μ r))^{ϵ}

$(1/(\mu r))^{\epsilon}$ sollte auch ausgebaut werden:

{(μ R)}^{- ϵ} \approx 1 - \ln (μ R) ϵ .

$\left({\mu r}\right)^{-\epsilon}\approx 1 - \ln (\mu r)\epsilon.$

In Anbetracht all dessen lautet die Antwort

E (R) = \frac{1}{2 π} \ln (μ R),

$E(r)=\frac{1}{2\pi}\ln(\mu r),$ die die richtige Dimensionalität hat (im Gegensatz zu

- \ln r / (2 π)

$-\ln r/(2\pi)$ was aufgrund des Logarithmus der Länge "unphysikalisch" ist).

Kommentare :

dimensionale Regularisierung ändert den Singularitätscharakter der Gammafunktion nicht für $D=2$ weil die Erweiterung den Pol bei 0 enthält.
Die Schwinger-Parametrisierung ist ein sehr praktischer Weg, um den Propagator-Typ zu berechnen, da sie es ermöglicht, die Scharade mit hypersphärischen Koordinaten zu vermeiden
Natürlich sind diese Tricks für gute Physiker einfach, aber ich habe keine Erklärungen und Lösungen für dieses Problem gefunden

Siehe auch: Grenzformen von Bessel-Funktionen in Standardtexten. zB dlmf.nist.gov/10.30

umsonst · Answer 2

Ich lese auch Zees Buch. Als ich diese Frage versuchte, nahm ich eine Abkürzung und betrachtete den masselosen Fall $(m=0)$ vom Anfang an. Das ist mir dann aufgefallen $E(r)$ wird auf die Greensche Funktion für die reduziert $D$ -dimensionale Laplace-Gleichung. Das ist bekannt, oder nach dem Gauß'schen Gesetz kann man das finden $\nabla E(r) = \frac{1}{S_{D-1}} \propto 1/r^{D-1}$ , Wo $S_{D-1}$ ist die Oberfläche von a $D$ -dimensionale Sphäre. Daher, $E(r)\propto 1/r^{D-2}$ . Im Fall von $D=2$ , $\nabla E(r) \propto 1/r \implies E(r) \propto \ln(r)$ .

Wenn Sie Berechnungen für den D-dimensionalen Fall sehen möchten, beachten Sie mich
Außerdem ist Ihre Antwort nicht ganz richtig. In der Tat berechnen Sie die Log-Funktion des Arguments mit Längendimensionalität. Das Argument von Protokollfunktionen sollte dimensionslos sein

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umsonst

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umsonst

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