Wie leite ich die Greensche Funktion für −∇2+m2−∇2+m2-\nabla^2 + m^2 in ddd-Dimensionen ab?

Der erste Schritt besteht darin, zu erkennen, dass die Gleichung invariant ist unter$d$-dimensionale Drehungen um$\mathbf{x} - \mathbf{x}' = \mathbf{0}$und simultane identische Übersetzungen von$\mathbf{x}$Und$\mathbf{x}'$, also können wir den folgenden Schritt machen:

$$\begin{align}(-\nabla_d^2 + m^2)G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') &= A \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \\ & \mathrm{let: }\ r \equiv |\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \Rightarrow \\ \frac{A}{\Omega_d r^{d-1}} \delta(r) &= - \frac{1}{r^{d-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^{d-1} \frac{\partial G(r)}{\partial r}\right] + m^2 G(r),\end{align}$$ wo der Faktor$\Omega_d r^{d-1}$stammt aus dem Volumenelement$\operatorname{d} V = \Omega_d r^{d-1} \operatorname{d}r$und die Ableitungen auf der rechten Seite (rechte Seite) sind der radiale Term von$\nabla_d^2$In$d$-dimensionale sphärische Koordinaten ( Wiki-Link ).

Der nächste Schritt besteht darin, beide Seiten der Gleichung über ein sphärisches Volumen zu integrieren, das am Ursprung mit Radius zentriert ist$r$, dann nehmen Sie die Grenze als$r \rightarrow 0$. Daraus ergibt sich die Normierungsbedingung für$G$:

$$\lim_{r\rightarrow 0} \left[r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\frac{A}{\Omega_d},$$ und behandelt den Teil der Gleichung, wo die Delta-Funktion nicht Null ist.

Der Bereich, in dem die Deltafunktion Null ist, der homogene Bereich, wird zu:

$$0 = \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} + \frac{d-1}{r} \frac{\partial G}{\partial r} - m^2 G.$$ Die Gleichung im homogenen Bereich kann durch die Funktionssubstitution in eine vertrautere Form gebracht werden$G(r) = f(r) r^{-(d/2 - 1)}$geben: $$0 = r^2 \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + r \frac{\partial f}{\partial r} - \left(\frac{d}{2} - 1\right)^2 f - m^2 r^2 f.$$ Die bekannte Form dieser Gleichung ist die modifizierte Bessel-Gleichung . Die allgemeinste Lösung dieser Gleichung ist: $$f(r) = C K_{d/2-1}(mr) + D I_{d/2-1}(mr),$$ mit$I_{d/2-1}$Und$K_{d/2-1}$ modifizierte Bessel-Funktionen erster bzw. zweiter Art und$C$Und$D$durch die Randbedingungen festgelegte Konstanten.

Die Randbedingung bei$r\rightarrow \infty$erfordert$D=0$, wobei die folgende Form für$G$:

$$G(r) = \frac{C}{r^{d/2-1}} K_{d/2-1}(mr).$$ Einstecken unserer Lösung für$G$in die linke Seite (lhs) der$r \rightarrow 0$Die oben hergeleitete Randbedingung ergibt: $$\lim_{r\rightarrow0} \left[ r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\Gamma\left(\frac{d}{2}\right) 2^{d/2-1} m^{1-d/2} C,$$ nach Anwendung der Small-Argument-Limit-Form von$K_\nu$. Dies impliziert Folgendes: $$\begin{align}C &= \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2-1}\Gamma(d/2) \Omega_d} \\ & = \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2} \pi^{d/2}},\end{align}$$ wo die explizite Form von$\Omega_d = S_{d-1}$eingefügt wurde.

Endlich ersetzen$C$gibt:

$$G(r) = \frac{A}{(2\pi)^{d/2}} \left(\frac{m}{r}\right)^{d/2-1} K_{d/2-1}(mr).$$